수학 질문하나만 받아주실분 ㅜㅜ

게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00063165439

4번째 줄에서 az/ax=z/2z-x인데 y에 대해서 미분한게 왜 0이아니라 1/(2z-x)^2 인지 이해가 안되요 ㅜㅜ 멍청한 질문 죄송합니다

팔로우 1

[ 국어의 호흡 Breathe 현대문학편 2025 ]　주제만으로 답이 보이는 경험을 하라!

[ Mechanica 물리학1 개념 시리즈 2025 ]　CLUSTER팀의 한 권으로 끝내는 물1

[ 기출의 파급효과 생명과학1 시리즈 2025 ]　실전 개념에 대한 가이드라인 제시

0 XDK (+0)

유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.

CocaineLullaby [1102365]

쪽지 보내기

알림
스크랩
신고

책참 · 1020565 · 23/05/31 23:13 · MS 2020

주어진 방정식 F(x, y, z)=0의 양변을 x에 대해 편미분해봅시다. y는 x에 대해 상수처리 하면 되지만 z는 방정식 F(x, y, z)=0으로부터 z=f(x, y)로 함수를 정의할 수 있을 것임을 예상할 수 있기 때문에 상수 처리할 수 없습니다. 따라서 라운드를 본문처럼 편의상 a로 표기하면

aF/ax+aF/az*az/ax=0

을 얻으실 수 있고 이를 정리한 것이 az/ax=-(aF/ax)/(aF/az)가 되겠습니다. 이것이 음함수로 정의된 다변수함수를 주어진 방정식을 편미분한 식을 통해 빠르게 구할 수 있는 방법의 원리입니다.

좋아요 0 답글 달기 신고
책참 · 1020565 · 23/05/31 23:21 · MS 2020

이 방식으로 az/ax와 az/ay를 구할 수 있습니다. 이후 네 번째 줄에 있는 a^2z/(axay)를 바라보면 이것은 az/ay를 x에 대해 편미분한 것을 의미합니다. 혹은 Clairaut's Theorem을 적용할 수 있다면 az/ax를 y에 대해 편미분한 것과 같을 것임을 생각해볼 수 있습니다. (저도 아직 충분히 공부를 하지 않은 부분이라.. 그런데 대충 흐름 보니 될 것 같아 보이네요)

az/ax는 z/(2z-x)이고 이를 y에 대해 편미분할 때는 x는 상수처리 하면 되지만 z는 상수처리 할 수 없습니다. 왜냐하면 z는 주어진 방정식 F(x, y, z)=0으로부터 z=f(x, y)로 정의되었음을 알 수 있기 때문입니다. 따라서 z/(2z-x)를 y에 대해 편미분하면 몫의 미분법과 합성함수 미분법에 의해 다음과 같고

[(az/ay)*(2z-x)-z*(2az/ay)]/(2z-x)^2

분자를 정리해보시면 az/ay=1/(2z-x)이기 때문에 1-2z/(2z-x)가 되어 통분해주면 -x/(2z-x)가 됨을 확인하실 수 있습니다. 이제 분모에 (2z-x)^2를 함께 고려해주면 -x/(2z-x)^3이 됨을 확인하실 수 있겠습니다.

좋아요 0 답글 달기 신고
책참 · 1020565 · 23/05/31 23:26 · MS 2020

음... 그런데 1/(2z-x)^2와 -x/(2z-x)^3이 일치하려면 z=0이어야하는데 꼭 그럴 필요는 없죠? az/ax를 y에 대해 편미분한다는 것이 같은 독립변수 위치인 x는 상수로 취급하고 (e.g. x=3) 종속변수 위치에 있는 z는 y에 대한 1변수함수로 취급하여 (e.g. z=h(y)처럼) 미분하는 것인데... 그러면 az/ax=z/(2z-x)를

h(y)/[2h(y)-3]

과 같이 생각해볼 수 있고 이를 y에 대해 미분하는 것은 고등학교 미적분에서 학습할 수 있는 합성함수 미분법과 몫의 미분법을 적용하면 될 듯한데 주어진 1/(2z-x)^2라는 식과는 다른 결과를 얻네요. 같은 방식으로 az/ay를 x에 대해 편미분해도 -x/(2z-x)^3이 되어 Clairaut's Theorem은 만족하는 듯한데 교재가 오류인 것인지 제가 잘못 생각하고 있는 것인지 잘 모르겠습니다. 알아보고 올게요

좋아요 0 답글 달기 신고
책참 · 1020565 · 23/06/01 10:08 · MS 2020

정확히는 ‘음함수로 정의된 다변수함수의 편도함수를 주어진 방정식을 편미분 한 식을 통해 빠르게 구할 수 있는 방법의 원리‘입니다. 개인적으로 음함수보다 implicit function이라는 표현 쓰는 게 더 나은 듯? +- 할 때 -의 의미가 아니라 ’명시적으로, 직접적으로 표현되지 않은‘의 의미이니!

좋아요 0 답글 달기 신고
책참 · 1020565 · 23/06/01 10:06 · MS 2020

저거 제시된 답이 잘못되었고 제가 댓글에 남겨둔 답과 풀이가 맞습니다. 울프람알파와 연세대 수학 가르치시는 교수님께 확인 받았어요~

좋아요 0 답글 달기 신고