벡터를 활용한 2차원 등가속도 운동 풀이 (2) 가속도 벡터와 포물선 운동

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후속편을 쓸려 했는데 퐁당퐁당이 걸려서 못썼네요. 수학 과외 준비도 좀 바쁘고. 양해 부탁드리겠습니다.

전 편에는 가속도 벡터 풀이의 기초인 중력 끄기에 대해서 설명을 했습니다.

이 편에서는 가속도 벡터가 무엇인지에 대해 설명을 드리고, 기초적인 활용을 해보려 합니다.

기하와 벡터를 수강하신 분들이면 이해가 수월하실 듯 싶네요.

먼저 등가속도 운동방정식을 봅시다. 가속도 벡터에서 핵심적인 식입니다.

교과서에서 배운 등가속도 운동방정식에서, 변위, 속도, 가속도를 전부 벡터로 나타냈습니다. 사실 교과서에 나오는 것과 차이는 없고, 이를 2,3차원에 적용하기 수월하게 한 것 뿐입니다. 주의해야 할 점은, 스칼라 값이 아닌 벡터이기에 벡터의 덧셈을 해 주셔야 된다는 점입니다.

이를 전 편에 있던 중력 끄기와 연계시켜서 한 번 해석해 볼까요? 2차원 운동 중 기본인 포물선 운동을 봅시다.

나무위키에서 퍼 온 포물선 운동입니다.

식이 복잡하니 풀진 않겠습니다.

혹시라도 풀어보시고 싶으신 분들은, 포물선 운동의 궤적을 수평 이동 거리인 x에 대해 정리해 보시면 되겠네요.

핵심이 뭐냐면, 포물선 운동의 궤적을 등속 직선 부분(vt)에 해당하는 항과 수직 낙하 부분(1/2 at^2)에 해당하는 분으로 분해해서 생각하는 겁니다. 앞으로 전자를 등속도 변위 벡터, 후자를 가속도 변위 벡터로 부르겠습니다. 둘 다 당연히 벡터이니까 저렇게 방향을 가지고 벡터의 덧셈을 수행해서 궤적 위의 점을 찾는 겁니다.

센스가 좋으신 분들은 중력 끄기와 이 개념의 관계를 찾아냈을 겁니다. 전 편에서 중력 끄기는 (1/2at^2)이 동일하므로 소거하는 것과 동일하다고 간략하게 언급했습니다. 가속도 벡터와 시간이 동일한 두 물체의 운동은 가속도 변위 벡터가 동일하므로, 상대적 위치를 계산할 때 이를 무시하는 겁니다.

자. 이제부터 벡터 풀이의 핵심 사항을 알려드리겠습니다.

등가속도 운동의 총 변위를 등속도 변위 벡터와 가속도 변위 벡터로 분해해서 그린다.

이게 끝입니다. 그럼 포물선 운동 풀이가 왜 쉬워지느냐?

1) 이렇게 가속도 벡터를 활용해서 나타내면 포물선 운동에서 특별한 비율 관계들이 발견되기 때문입니다.

2) 가속도 벡터를 (시간^2) 에 비례하는 값으로 분해했기 때문에 문제에서 위치를 시각화하기 편해진다.

1)부터 살펴보겠습니다.

포물선 운동에서 수평 이동 거리는 시간에 비례하죠.

시간에 따라 낙하 거리인 가속도 변위 벡터는 시간의 제곱에 비례해 커지고, 따라서 특이점인 최고점, 지면과 충돌하는 점에서 다음과 같은 1:4 비율 관계가 발생합니다.

이를 x,y 성분으로 분해해 보면 더 재미있는 성질들이 있는데요.

x 성분 속도 변위 벡터는 뭐 시간에 비례해서 늘어나는 성질 그대로이니까 냅둡시다.

y 성분 속도 변위 벡터 또한 시간에 따라서 늘어나는데, 현실의 y 속도 벡터가 0이 되는 지점(최고점)에서는 가속도 변위 벡터와 속도 변위 벡터의 비율이 1:2 입니다. 따라서 총 변위 벡터는 가속도 변위 벡터와 크기가 같고요. 또, y 속도벡터가 초기와 방향이 반대로 되는 지점(낙하점)에서는 가속도 변위 벡터와 속도 변위 벡터의 비율이 1:1이 됩니다.

다음 편에서 다루겠지만, 지금 y 속도 성분에 대해서만 이런 분석을 한 것을 x 성분에 대해서도 할 수 있습니다. 2차원 등가속도 운동 문제는 보통 가속도가 x,y 성분 둘 다 다루기 때문입니다. 또한, 반대로 본인이 원하는 벡터축을 잡아서 가속도 변위 벡터를 분해하는 스킬도 익힐 수 있습니다. 이것들은 심화니까 후속 편에서 서술할게요.

두 번째 이유는 기출문제를 풀어보면서 적용해 봅시다. (물리2 151119 입니다.)