[박재우] 안녕하세요 ^^
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00018181607
오르비 회원 여러분 오랜만입니다.
오르비 클래스 수학강사 박재웁니다.
더위가 가고 기분이 좋아질 것 같은데 곧 9월이네요.
수험생들은 시험이 현실로 느껴지기 시작하는 달입니다.
머 9평이 있어서가 아니구요. 그건 그냥 실전 연습이라고 생각하세요.
원서를 쓰게 되는 달이죠.
이게 말입니다. 원서를 쓰게 되면 기분이 묘해지고 바빠지게 됩니다.
이 것이 모든 컨디션이나 일정이 잘 관리되다가 흔들리게 되는 시발점이 되기도 합니다.
언제나 꾸준히 변함없이 앞만보고 가시기 바랍니다.
하고자 하는 사람은 못 할게 없다는 거 잘 아시죠 ?
저도 개인적으로 먼가를 이루기 위해 많은 준비를 하고 있습니다.
에너지도 많이 되찾고
꽤나 희망적입니다. 저 개인적으로는요 ㅎㅎ
오늘은 미루어 놓았던 칼럼을 하나 쓸려고 합니다.
공부하다가 지친 머리를 식혀 보시기 바랍니다.
물론 더 뜨거워지는 분들도 있겠지만요. ㅋ
저번 칼럼 처럼 이미지도 부가해서 쓰겠습니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ? ㅋㅋ
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
요즘은 정사영 이면각이 잘 안나오는 추세지만
예전에 이런 문제가 나온적이 있었죠.
기억니시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
블루칼라 대우는 최악에 화이트칼라도 명문대 나와도 그 안에서 또 거르고 또 거르고…...
-
프메 질문요 0
고2 기말 끝나고 프메 기본 들어가도 괜찮겠죠?
-
킬캠의 n제화 0
너무 어려워서 시간 내에 풀 수가 없다… 시간 맞추면 걍 70점대 입갤~~
-
교과하나 모고기준 약간상향인것같은학교썼는데 쌤이 납치당할수도있는데 거기왜썼냐고함...
-
현역 생기부 0
현역인데 3학년까지 다 나와있는 생기부 보고 싶은데 어떻게 볼 수 있나요 출력할 수...
-
알바해서 돈 모으기 탈색하고 핑크머리하기 퍼스널 컬러 진단 받기 일렉기타 사기...
-
논술 원서쓰고 있는데 눈만 높아서 냥대, 성대, 중대 보고있어요.. 9모 수학...
-
어디 어디 쓰심? 나 아직도 고민중..
-
2021학년도 9평 해설(2020.09) 2022학년도 3모 해설(2021.3)...
-
이해안돼서 잠못자는중
-
씁 잘생기게 하고 다니지마라 공부에 집중안된다
-
으어어ㅓ Ebsi 인강들으려했는데패드가없서,,,,,
-
시대 단과 통학 1
일주일에 한번만 왕복 3시간 좀 넘는데 통학 가능할까요 토요일만 가서 2개 듣고올 생각입니다..
-
N제공통: 4규2024 시즌1 ,4규2025시즌1,드릴45,브릿지투킬러,...
-
낭만 22
서울대학교 물리천문학부 천문학전공
-
한의대도 가고 싶은데.. 주변에서 이미 약대생인데 뭘 한의대 넣냐 이런 반응이라서...
-
서강대 성대 7
공대로 학교 넣으려는데 공대는 한 성 서 순서 맞나요?? 저는 솔직히 서울라이프...
-
홈페이지 찾아봐도 구체적인 가격은 잘 안 나오네요 내가 못 찾나...??
-
계신가요
-
사문을 하다가 9모 때 생윤으로 틀게 돼서 임정환t 가장 최근 강의인 올림픽을 듣고...
-
60일
-
늙고병듬 0
ㅇ
-
인생망했습니다 3
네
-
아니 근데..제가 계속 느끼는 게.. 수능 그 비문학의 추론?? 유추?? 진짜 뭐...
-
21년1월 기사인데 얼굴에 물음표가 개웃기네
-
파이널2인데 이번시즌까지 미루면 난 사람새1끼가 아니다... 올해 신혁쌤 풀커리...
-
아오
-
일단 약대 생각하고 있고 ㅈ반고여서 물리 1등급이 한 명이어서 물리는 포기했습니다...
-
제주 서귀포시에 사는 길동이도 16만원+@만 내면 들을수있는게 존나 지리는듯 물론...
-
고마워요 오부이들
-
시발이거 왜이렇게 어려움? 현장에서 푼거보다 더틀린거같은데 ㅋㅋ 독서도 존나...
-
150개는 진짜 대단하다….
-
1. 고딩 때 공부 하나도 안 한 것 (차라리 놀았어야 했음) 2. 원서 쓸 때...
-
군대에 별의별사람 다있지만 그중에 마음 맞는사람도 몇몇 있을겁니다..그사람들이랑...
-
뭐가 젤 낫나요??
-
지2 ㄱㄱ 1단원 끝냈는데 물리 섞여서 정량적인 지구과학 개재미씀
-
건동홍부터 초엘리트 슈퍼울트라인텔리인 것 같습니다. 0
수시 원서 넣을 때 입결 찾아보니까 국숭세단이랑 차이가 엄.청 나더라고요. 건동홍...
-
센츄. 어감도 좋고 귀엽고.. 뱃 보유자들이 공부잘하는미소년일거같아요.
-
ㅈㄱㄴ
-
중요할까요..? 점점 올라가는데...ㄷㄷㄷㄷ
-
고딩 들어가기 전에 1년 꿇어서 히키 생활 1년했는데 3
히키코모리가 로망이라는 사람이 있는데 나도 한때 그랬음 그래서 실천했다 근데...
-
관련 대학 진학하신 분들&잘 아시는 분들께 sos칩니다... 과기원 특기자쪽에서는...
-
최저도 다 맞출 수 있고 논술도 붙을 만 하면 어디가 나은가요?? 고민됩니다....
-
경희대랑 에리카 0
경희대랑 에리카 미대 순위 비슷한가요?
-
유명한 강사는 아니고 유튜브에서 영상 몇개 보고 좋다고 느껴서 가볼까하는데 살면서...
-
먀먀 6
심심하다
-
설맞이 개맜있다 3
머리 깨져서 피 철철 나도 너무 좋아서 도파민 과다임
-
문해전 특) 8
이창무 쌤 강의 들으면 나도 할 수 있을거같은데 음 잘 모르겠어요 밖에 체화 못하겠음
-
반수생인데 아무래도 올해는 실패할 것 같음 내년엔 독재학원 다녀보려는데 어떰?...
아 국어5등급 이해안된다 ㅅㅂ...
요약좀
한줄로 요약하면
이것도 이해 안 가면 뒤지렴^^
이라고 써있어요
ㅇㄷ
닉값
아싸 내일 태풍오는데
그 지구과학하는 애들은 "태풍의 눈" 무조건알지......?
(아! 물론 생명 화학 물리 하는애들은 그냥 배우지 않아도 앎 ㅇㅇ)
거기 한번 뛰어 갔다 와볼께
진짜 거기는 바람 안부는지 확인하구 태풍의 눈 지나가고 바람에 휩쓸려 한번 뒤져봄 ㅇㅇ
보이려나 모르겠는 데 박재우선생님의 애제자 ㅊㄱ가 쉽게 설명해드릴게요
철구요?
2
안보일까바
굿굿 ^^
쌤 이루하에서 뵐때마다 인사하고싶은데 소심해서 못하겠어요ㅎㅎ 실물이 훨씬 나으신듯...?
그냥 인사해요 ^^
닉값굳굳
멋져유