@물파스님 답변입니다 -ㅁ-

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위 그래프와 같이, 자연수 n에 대하여 n ≤ x ≤ n+1 이면 항상

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{n+1}%20\leq%20\frac{1}{x}%20\leq%20\frac{1}{n}$

이 성립합니다. 따라서 위 식의 각 변을 n에서 n+1 적분해주면

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{n+1}%20\leq%20\ln(n+1)%20-%20\ln%20n%20\leq%20\frac{1}{n}$

이 성립하고, 이제 위 식을 1, 2, …, n-1 까지 더해주면 (단, n ≥ 2)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left(\sum_{k=1}^{n}%20\frac{1}{k}%20\right%20)%20-%201%20\leq%20\ln%20n%20\leq%20\left(\sum_{k=1}^{n}%20\frac{1}{k}%20\right%20)%20-%20\frac{1}{n}$

이 성립합니다. 따라서 양 변을 시그마로 나눠주고 n→∞ 을 취해주면, 샌드위치 정리로부터 원하는 결론이 도출됩니다.

여담이지만, 사실 두 값

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=1}^{n}%20\frac{1}{k}%20\quad%20\text{and}%20\quad%20\ln%20n$

은, 두 값의 비율이 수렴할 뿐만 아니라 두 값의 차도 수렴합니다. 정밀한 계산을 해 보면, 어떤 상수 γ에 대하여

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=1}^{n}%20\frac{1}{k}%20=%20\ln%20n%20+%20\gamma%20+\frac{1}{2%20n}-\frac{1}{12%20n^2}+\frac{1}{120%20n^4}+O\left(%20\frac{1}{n^5}\right)$

이 성립합니다. 단, f(x) = O(g(x)) 라는 표기법은, 어떤 상수 C에 대해서 |f(x)/g(x)| ≤ C 라는 뜻으로, 바꿔 말하면 O(g(x)) 라는 양은 '아무리 커도 g(x)만큼밖에 안 크다'는 의미입니다.