이 확률 문제의 풀이를 공모합니다.
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/0002825072
여러분이 공정한 동전을 하나 갖고 있습니다.
동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 합니다.
동전을 반복해서 던지면서 나온 면을 차례대로 기록해나갑니다.
(1) 기록의 마지막 네 글자가 THTH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(2) 기록의 마지막 네 글자가 HTHH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(3) 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률은 얼마인가?
위의 세 문제의 답을 구하고 보면, 일종의 역설을 얻게 됩니다. 저명한 퍼즐리스트 마틴 가드너가 낸 문제라고 하네요.
제가 궁금한 것은, 이 문제를 고등학교 수준에서 풀 수 있는가 하는 점입니다. 만약 힘들다면, 최소한 다음 변형된 문제
(3') 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률과 나중에 나올 확률 중 어떤 것이 더 큰가? 혹은 두 확률이 같은가?
에 답을 할 수 있을까요?
(물론 저는 답도 풀이도 알고 있습니다만, 고등학교 수준을 벗어난 풀이라서... 한마디로 '초등적인 풀이'가 가능하겠냐는 것입니다.)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
언매 73점 나왔는데; 언매 다 맞고 문학 비문학 의문사 개많이 당함; 평가원꺼...
-
일찍 결정했으면 방학때부터 예비고3 현역들이랑 같이 공부하는 사람도 있으려나???
-
있음요??
-
시대인재 윈터스쿨 수학이랑 생명 특강 뭐뭐 있는 지 아시나요 ? ㅠㅠ
-
강대 vs 하이퍼 윈터 17
예비고2인데 러셀이 여학생 안받아서 둘 중 하나로 가야할 것 같아요 좀 늦게...
-
제가 이제 고3이 되어서 엄마가 공부 열심히 하라고 러셀 기숙을 신청하려고 해서...
-
고등학교 진학을 앞둔 현 중3 입니다. 좋은 성적을 받고 싶은 마음이 앞서 아무런...
-
Show me the POWER 잠재력을 보여줘 통학형 Winter School...
-
강대 러셀 시대 중에 뭐가 나을까요 집은 강대 바로 근처라 10분 정도면 갈 수...
-
이과 예비 고3인데요,ㅇ 두 곳 중 어느 곳을 가야할지 고민되네요 ㅠㅠ 일과표...
-
ㅈㄱㄴ 예비 고3인데 어디가 더 나아요?
-
양주탑클래스기숙(김영일기숙)학원 vs SN독학기숙학원 윈터스쿨 0
둘다 독학 기숙학원인데 탑클래스는 일단 단과로 과목 수강이 가능하더라고요 sn은 걍...
-
강남대성 윈터스쿨 통학 어떤가요?.. 등록 하긴 했는데요.. 자연계 예비고3...
-
강민철쌤현강이랑 김상훈쌤이나 박광일쌤 현강중에 뭐가 좋을까요??? 4
이쪽지역살아서 현강들으려고 생각중입니다. 박광일쌤대기 38번이고요 김상훈쌤강의...
-
독학으로 하는곳에서 공부하고싶어요..집에있어봤자 분명 9~10시기상인건 불보듯...
-
예비고3 양지메가랑 강남청솔 윈터스쿨 기숙학원 두 곳 중 어느 곳이 나을까요? 13
양지메가랑 강남청솔 두 군데 기숙학원 놓고 마지막까지 고민인 데, 어디가 나을까요?...
-
[오르비 1관, 2관] 윈터스쿨 + 독재반 - 마지막 공개특강 1
안녕하세요. 조선생입니다. 다음 주 일요일(12월20일)에, 2017학년도 독재팀...
-
이과인데 이제부터 빡시게함공부해보려고하는데 윈터스쿨 성적제한있나요? 모바일에선 그냥...
-
안녕하세요 고2 여학생입니다.고1때까지만 해도 나름 수업도 잘듣고 성적도 좋았는데...
-
제가 이번에 가거든요.. 가보신 분 계시면 후기 남겨주세요!
THTH 가 발생하는 회차의 기댓값은 20 일 듯 하고,
HTHH 가 발생하는 회차의 기댓값은 18일 듯 한데... 계산은 직관적이라 쓰기가 좀 어렵네요.
위의 결과를 보면 HTHH 가 먼저 나올 확률이 클 듯 한데, 결과를 구해보면 오히려
THTH 가 먼저 나올 확률이 9/14 이고, HTHH 가 먼저 나올 확률이 5/14 가 되서...
THTH 가 먼저 나올 확률이 더 크군요.
풀이방법은 유향그래프와 무한등비급수를 이용했습니다.
직관적이라도 좋습니다. 모두 정답이니까요. 어떻게 계산하셨는지 설명을 부탁드려도 될까요?
적기가 어려워서 맨 위에 하나(THTH)만 간단히 적어보겠습니다.
처음 상태를
라고 합니다.
상태에서는 H 또는 T 가 나올 수 있는데, H 가 나오면 아무런 도움이 안되므로 그냥 처음 상태와 같습니다.즉,
상태에서는 각각 1/2 의 확률로상태로 남거나 상태로 이동합니다.
상태로 이동합니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태에서는 같은 방법으로 하면 1/2 의 확률로 상태로 남거나
상태로 되거나 상태로 됩니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태로 되거나 상태로 됩니다.
이제까지 결과를 이용하여 각 상태를 꼭짓점으로 유향그래프를 그릴 수 있고,
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 6
상태에서
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 10
이 되어, 기댓값 20을 구한 것입니다. 각각의 기댓값은 무한등비급수 형태로 계산했고요.
오오, 상당히 재미있는 풀이네요.
우선 확률공간 {S, T, TH, THT, THTH} 와 {S, H, HT, HTH, HTHT} 각각에 대한 전이행렬 A를 구하고,
A + 2A^2 + 3A^3 + 4A^4 + ... = A(I - A)^-2
를 구해서 초기상태를 먹이니까 정말로 최초 출현 시점의 기대값이 나오네요. 그리고 확률공간 {S, T, H, TH, HT, THT, HTH, THTH, HTHH} 에 대한 전이행렬 A를 구해서
A + A^2 + A^3 + A^4 + ... = A(I - A)^-1
을 구하고 초기 상태를 먹이니까, THTH 로 끝날 확률과 HTHH 로 끝날 확률이 나오는군요.
원래 제가 아는 풀이법은 stopped martingale을 이용하는 방법이라, 확률미적분(stochastic calculus)에 대한 기본 지식이 없으면 쓰질 못했거든요...
좋은 풀이 배워갑니다.