먼지바람 [412960] · MS 2012 · 쪽지

2012-11-25 13:30:17
조회수 754

[자작] 행렬의 고차식의 계산

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느낌으로는 한 재작년 정도부터 이런 식의 행렬의 고차식의 계산이 종종 보이네요.

그래서 한 번 출제해봤습니다.

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  • N공간 · 398676 · 12/11/25 14:12 · MS 2011

    p^n+q^n 부분을 p^n-q^n으로 바꿔야 하지 않을까 하는 의견을 내봅니다. 이 의견을 가정으로 삼고 풀이해보겠습니다.
    B=(5 4 &5 4), E=(1 0 & 0 1)이라 하면 A=B+3E라는 것을 알 수 있습니다. 그러면 B와 3E 사이에 교환법칙이 성립하므로
    A^n=B^n+3 nC_1 B^(n-1)+...+3^n E라 할 수 있습니다. 이때 B^2=9B이므로
    A의 (1,2)성분은 4(9^(n-1)+3 nC_1 9^(n-2)B+...+3^n-1 nCn-1)이고, 적절하게 식을 변형시켜주면 이항정리를 이용하여 성분값이 4/9 (12^n-3^n)임을 알 수 있습니다.
    따라서 p=12, q=3이므로 p-q=9

  • N공간 · 398676 · 12/11/25 14:13 · MS 2011

    수식을 못 써서 풀이가 조잡해요 ㅠㅠ

  • syzy · 418714 · 12/11/26 11:29 · MS 2012

    멋진 풀이네요~ 제가 아는 풀이는, 1. 케일리 해밀턴 및 인수 정리 쓰기 혹은 2. A^n 의 성분을 차례대로 a_n, b_n, c_n, d_n으로 두고 점화식 세우기등인데, A=B+3E라고 해서 풀어도 좋군요!

  • 먼지바람 · 412960 · 12/11/25 14:21 · MS 2012

    정답이네요.^^ p^n -q^n에서 p-q를 굳이 물어본건 n=1을 대입했을때, 행렬 A로 바로 풀어내는걸 방지하기 위해서였습니다.
    행렬의 고차식의 계산을 이항정리를 이용해서 푸는건 생각못했습니다. 신선하네요. 저는 점화식을 이용해서 풀었습니다. ^^