한완수 수2상편 질문드립니다
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헤비사이드로 항이4개곱해진건 어떻게해야하나요
한완수 수2상편 각각 28쪽2번 34쪽입니다
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1. 1 / (n(n+1)(n+2)(n+3)) = (1/3) {n+3 - 3} / (n(n+1)(n+2)(n+3)) = (1/3) { 1/(n(n+1)(n+2)) - 1/((n+1)(n+2)(n+3))} 이므로, 더하면 첫항 (1/3) (1/(1*2*3)) = 1/18 만 남고 다 상쇄. (뒷쪽 항들의 극한은 0으로 가므로 논리적 모순 없음.)
헤비사이드로 하려면 1/(n(n+1)(n+2)(n+3)) = a/n + b/(n+1) + c/(n+2) + d/(n+3) 이 n에 대한 항등식이라 두고 상수a,b,c,d구하시면 됩니다. (a,b,c,d각각 1/6 , -1/2, 1/2, -1/6)
쭉 다 더하면 1/4 , 1/5 , ... 등등은 쫙 다 상쇄되고, 1 , 1/2 , 1/3 에 적당한 계수(a,b,c,d 등) 곱한 것들만 몇 개 남아서 더해보면 됩니다.
2. 1/ (x(x+1)^3 ) = a/x + b/(x+1) + c/(x+1)^2 + d/(x+1)^3 이 x에 대한 항등식이라 두고 상수a,b,c,d,구하시면 됩니다. (양변에 x(x+1)^3 곱하고 전개..)
(a,b,c,d 구하시는 약간 더 간단할 수도(?) 있는 방식은 1/(x(x+1)^3 ) = 1/(x(x+1)^2 ) - 1/(x+1)^3 으로 분해하시고 이 중 앞 항은 다시 1/(x(x+1)^2 ) = 1/(x(x+1)) - 1/((x+1)^2 ) = 1/x - 1/(x+1) - 1/(x(x+1)^2 ) 처럼 하는 겁니다. 그러면 답은 1/x - 1/(x+1) - 1/(x+1)^2 - 1/(x+1)^3 . )
ㄴ. 이 문제는 참이 아닙니다. (동치 아님.) 편의상 알파=a, 베타=b라 둡시다.
좌 <=> 우 에서, 좌 <= 우 방향 증명은 자명. (양변에 (x-a)^2010 |x-b| 곱하면 되는데 이는 0이상인 수이므로..)
좌 => 우 방향은,
x=a,b가 아닐 때, (x-a)^2010 |x-b| (양수)로 양변 나누면 원하는 부등식 (x-a) f(x) >= 0 얻음.
x=a일 때, 좌측 우측 부등식 모두 0=0 으로 참이므로 성립.
x=b일 때, 좌측 부등식 0=0으로 성립하나, 우측 부등식은 (b-a)f(b) >=0 로 f(b)의 부호에 따라 참, 거짓 모두 가능.
주. 만약 f가 연속함수라는 조건이 있으면 참.