[수학칼럼] 증명을 공부하는게 고난도 문제 풀이에 도움되는 이유
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00054696644
안녕하세요. 상승효과 이승효입니다.
작년에 올렸던 칼럼인데
최근에 증명에 대한 질문을 몇번 받아서
다시 올려드립니다.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은, 교과서에 나와 있는 어떤 정리가 참이 되는 이유입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠. 그게 참인 이유가 증명이에요. 이걸 배우지 않은 상태에서 혼자서 증명하는 것은 어렵습니다. 증명은 과거에 누군가 엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에, 그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠. 그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서 수학이 발전해 온 것이고, 고등학교 교과서는 그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다. 예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분 순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이 수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가. 고난도 문제를 풀어봤다면 알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다. 도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다, 함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등. 문제만 풀어온 학생이라면 이러한 발상을 문제를 풀어야 배울 수 있는 거라고 생각하겠지만, 사실 수능에 나오는 모든 발상은 100% 교과서 증명 안에 다 들어있습니다. 그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 전에 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데, 글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서 인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠? 증명을 배운다는 것은 마치 살아있는 인간을 배우기 전에 해부학을 배운다는 것과 같습니다. 이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로 교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요. 따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로 기출 문제를 풀게 되면, 문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라, 문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요. 그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다. 따라서 기출을 보기 전에 교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
증명을 해야 하는 두번째 이유. 학생은 미분가능한 함수는 연속함수이다 라는 것을 증명할 수 있나요? 이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요. 대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다. 왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의 정의를 정확히 모르거든요. 느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면, 매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다. 그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가, 예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라, 라는 문제가 있을 때 대부분 학생은 1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다. 라는 순서대로 문제를 풉니다. 이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데, 정의를 잘 모르기 때문이구요, 저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데 4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요. 문제풀이의 접근방법은 반드시 정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
증명을 해야 하는 세번째 이유. 직접 증명을 써보면 알겠지만, 아는 내용이라도 논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다. 그건 학생들이 아직 논리적 사고력 또는 표현력이 부족하기 때문이죠. 교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다. 복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있는데, 그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요. 강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만 똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다. 즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고, 연습입니다. 수학은 그것을 연습하는 학문이에요. 고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고 대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만, 중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이 논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
혹시 장재원 시즌 2 미적반 1주차(저번주 수업) 복영 파시는 분 있나요 라이브 반...
-
장재원 자받튀 0
장재원 현강 QR 찍고 수업 안 듣고 자료 다 받고 나중에 복영으로 들어도 상관...
-
장재원 공통 4
장재원쌤 공통반 지금까지 뭐뭐 수업했는지 아시는분 있나요?
-
23수능 백분위 94 >>> 24수능 백분위 99 저는 이동준쌤, 권경수쌤,...
-
장재원 시즌2 0
작년 장재원 시즌2때는 트레인브로커 없었나요?
-
들어가려고 하는데 숏컷 구매해야하나요?? 수업때 쓰는지가 궁금합니다
-
장재원 대기 1
일욜 밤 모의반 아예 충원 안하고있는거임? 아니면 안빠지는거임? 한달반째 32번에서...
-
쌤들한테 싸인받고 싶은데 언제 해달라고 해야될까? 수업 끝나고 질문 시간? 지방러...
-
6모 끝나고 일주일 정도 후에 공통 이료일 6시반꺼 대기 걸었는데 32번이었는데...
-
장재원쌤 지수로그 시즌1 복영 사려고 하는데 인강 강사들이랑 많이 다른가요? 시즌2...
-
서바시즌부터 합류 할려는 허수인데 어디가 좋을까요? 이번 6모 76 허수입니다
-
수업에서 다루는 문항들(카브프로,주간지)는 난이도가 어떤가요? 비슷한 난이도의...
-
현재 이창무t 미적반 현강 듣고 있는중입니다
-
대충 수1수2공통반 카이스브로커브프로 시작할때부터 다닐 것 같은데요....
-
장재원 t 질문 0
로비스트 지금까지 나온게 총 몇권임? 카이스브로커는요?
-
장재원 로비스트 0
로비스트 카이스브로커 만 타도되나요? 약간 어싸같은거죠? 그외에 안사도되죠?...
-
김범준t 질문 3
지금 장재원t 미적이랑 공통 둘다 듣고 있는데 나중에 강대k도 듣고 싶어서 장재원...
-
시즌1,2 다 미적 듣고 있는데 시즌1 카브 수2 교재 구매하려면 복영도 하나이상...
-
시즌1,2 다 미적 듣고 있는데 시즌1 카브 수2 교재 구매하려면 복영도 하나이상...
-
장재원T 카브에 대해 궁금해 하는 사람들이 조금 있는거 같아서 1~12주차 수업...
-
장재원t 미적 공통반 둘다 듣는데 다음주부터 미적반에서 공통,미적 재원t 자료로...
-
카이스 브로커 복영 필수? 수1수2미적 다
-
장재원 공통 듣고 강기원 미적듣고 어떰?? 그냥 한분 풀커리가 더 나음?
-
수요 있을까요 아님 내다 버릴까요? 월례 서바 신프 브로커 김현우 책이랑 모의...
-
예비 재수생이고 단과들을 예정인데 누가 더 나을까요? 올해 수능은 84 미적입니다...
-
내년 단과 들으려고 하는데 인강 강사들 중에 그나마 비슷한 사람이 누구임?...
-
장재원t 내년에 단과 하심? 한다면 듣고 싶은데 강기원 박종민과 비교해서 수럽 난이도는 어떰?
-
구해서 풀만한가
어떤 교과서로 증명을 연습해야 되나요?
증명은 부차적인 것이 아니라 교육과정에서 반드시 알아야 하는 내용이기 때문에, 중학교부터 고등학교까지 모든 교과서에는 같은 증명이 포함되어 있어요.
감사해요 선생님! 하나만 더 여쭙겠습니다ㅠ
미적분인데 수학,미적분,수학1,수학2 찬찬히 읽고 증명연습할 생각인데 더 해야할 교과서 있을까요? 아니면 4권도 충분하다 보시는지요~?
도형은 중학교 교과서도 봐야 합니다. 어렵지는 않으니까 금방 끝나요~