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이승효의 상승효과 [994942] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2022-05-20 17:19:46
조회수 11,418

벡터=좌표라고 생각하면 큰 낭패

게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00056751794

[기하 선택자(또는 수리논술대비)를 위한 칼럼]


기하, 즉 도형에서 가장 중요한 것은 점이에요.

모든 도형은 점으로 이루어져 있기 때문이죠.


도형에 대한 연구는 고대 그리스 시절부터 아주 활발했습니다.

직선, 각, 삼각형, 원 등 평면도형에 대한 대부분의 성질은

무려 2천년전에 “유클리드”님이 다 정리해 놓으셨다죠.


그런데 미친넘천재 유클리드도 

정의하지 못한게 하나 있으니

그것은 바로 '점의 위치'입니다.


우리가 중학교때까지 배우는 도형들은 위치가 없죠. 

그냥 어딘가에 있는 삼각형, 원 이렇게 배우잖아요.


고등학교 수학에서

점의 위치를 나타내는 방법을 두 가지 배우는데,

첫번째가 좌표로 점의 위치를 나타내기

두번째가 벡터(두두둥장)로 점의 위치를 나타내기


이 두가지는 아예 개념이 달라요.

그림으로 표현하면 아래와 같습니다.


1. 점의 위치를 x, y 좌표로 나타내는 방법

익숙하죠?

모든 점의 위치를 원점을 기준으로 생각하는 것이죠.

생각해서 존재하는 데카르트님이 좌표평면을 떠올렸다네요.



2. 점을 가리키는 벡터를 이용해서 나타내는 방법

원래 벡터는 위치가 아니라 크기와 방향으로만 정의가 되는데

모든 벡터의 시점을 통일시키기로 약속하면 한 점과 어떤 벡터는

반드시 일대일로 대응이 되는거죠. 


이걸 점의 위치벡터라고 합니다.


따라서 그냥 위치벡터가 아니라,
점A의 위치벡터, 점B의 위치벡터인거에요.


그럼 좌표로 하면 되지 뭐하러 굳이 왜 벡터로 점의 위치를??

이라고 생각할 수도 있겠네요? 그 이유는 뭘까요? 

벡터로 하는게 편한 경우가 있어서에요.


좌표로 점의 위치를 나타내면 원점을 기준으로 해서

점의 위치를 절대적인 값으로 나타냅니다.


그런데 점의 절대적인 위치를 알고 싶은게 아니라

이 점이 쟤랑 걔 사이에 정확히 중간에 있어.

아니면 얘는 쟤랑 거리가 몇이래.

이런걸 표현하고 싶다면? 굳이 좌표가 필요없어요.

점들 사이의 상대적인 위치만 있으면 되니까요.

이럴 때는 벡터가 훨씬 편하네요.


예) 점P는 점 A와 점 B의 중점이다.

이걸

이런 식으로 표현할 수는 없겠죠? 

그런데

벡터로 표현하면 

이렇게 표현을 할 수 있어요.

점은 연산이 안되지만 벡터는 연산이 되니까요.


직선이나 원 같은 도형의 방정식도 

위치벡터로 나타내면 훨씬 편리하답니다.


물론 벡터의 용도는 여러분의 상상 이상으로 훨씬 더 많아요.

여러분이 즐겨하는 게임에서

벡터가 광범위하게 활용되기도 하죠.

그리고 대학에서 배우는 벡터는 

평면기하와 별로 상관이 없는 추상적인 개념이고....

설명하자면 끝도 없는데

일단 평면벡터만 생각해서 예시를 들어봤어요.


[결론] 

여러분이 기하 선택자라면 (그래서 읽고 있겠지만)

위치벡터의 개념부터 제대로 잡고 시작하세요.


만약 위치벡터를 이해 못하면,,,


갑자기 나오는 벡터에,,, 도대체 이걸 왜 배우는건지,,, 

삼각형 평행사변형, 그림놀이 열심히 하다가

갑툭튀 등장하는 내분점 공식같은걸 보면서 이건 또 뭐지...

배운건데 왜 또 나오지.... 그러다가 준킬러님 두두둥장 

하시면 손도 못대는 경우가 생겨요.


기하에서는 30번 레벨 벡터문제까지
반드시 맞추도록 대비해야겠죠? 

그래야 미적분 선택자에게 불리하지 않으니까요.

벡터는 확실히 잡고 갑시다!


------

여기까지는 정보성, 

아래부터는 잠시 상업성을 띠는 점 양해부탁드리며...


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상승효과 이승효였습니다  :-)





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