칼럼2) 아마 당신이 처음 보는 수열 합 구하는 방법
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이유는 제가 만들었기 때문이죠
이미 알고 계신 분들이 있을수도 있는데, 제목이 너무 무례하게는 안 보였으면 좋겠습니다.
등차수열과 관련해서 알아야 할 것이 세 개가 있습니다.
1. an 자체의 성질
2. an 과 Sn 의 관계
3. Sn 자체의 성질
1,2,3 번은 각각 칼럼으로 작성될 것이며, 이번 칼럼은 그 중
2. an 과 Sn 의 관계를 다룹니다.
수식적으로, 기하적으로 각각 접근해보겠습니다.
(1) 수식적 접근
an 과 Sn 의 관계를 다룰 때 기초가 되는 것은 둘을 변환하는 일입니다. an 이 주어졌을 때 Sn 으로 '쉽게' 변환할 수 있어야 하고, 그 역도 마찬가지입니다. 이때 '약간 미분', '약간 적분'을 사용하시는 분들도 있는데, 더 효율적인 방법을 여기서 소개해드릴까 합니다. 예시를 통해 방법을 알려드리겠습니다.
Question. an = 6n+4 일 때 Sn 을 구하라.
step1 적분 (적분상수 0)
6n+4 > 3n2+4n
step2 최고차항 계수를 뒤에 n의 계수에 더함
3n2+4n > 3n2+(4+3)n = 3n2+7n
이렇게 구한 3n2+7n이 Sn입니다.
Sn 에서 an 으로 갈 때에는 그 역과정을 실행해주면 됩니다.
Question. Sn = 7n2 + 3n일 때 an 을 구하라.
step1 최고차항 계수를 뒤에 n의 계수에서 뺌
7n2 + 3n > 7n2 + (3-7)n = 7n2 - 4n
step2 미분
7n2 - 4n > 14n - 4
앞서 했던 것의 정확히 역과정이죠. 이렇게 구한 14n - 4가 an입니다.
모든 Sn 과 an 에 대해 방금 알려드린 내용이 성립합니다. 최고차항 계수가 양수든 음수든 an 이 0을 어디서 갖든 뭐 모든 요소와 관계없이 등차수열이기만 하다면 말이죠.
이 과정을 수식적으로 표현하면
이하 편의상 무민공식 ㅎㅅㅎ
이 됩니다. 근데 이렇게 외우진 마시고 앞서 알려드린 '과정'으로 이 방법을 외우시는게 훨씬 나을겁니다.
참고로 증명은 간단합니다. an = dn+a (d는 공차, a는 상수) 잡고 저 공식에 넣어보시면 성립한다는 걸 알 수 있습니다. 단순 계산이므로 여기선 생략하겠습니다.
여기까지 읽으셨다면 둘 사이의 관계를 변환하는 건 편하게 하실 겁니다. 이 무민공식(?)에서 한 가지만 더 건지고 가겠습니다.
an 을 적분한 이차함수의 꼭짓점은 an 이 0을 지나는 점과 같습니다. 그런데 적분함수에 nd/2만큼을 더해주었으므로, Sn의 꼭짓점은 적분함수의 꼭짓점, 즉 an 이 0을 지나는 점과는 x좌표가 다릅니다. 재밌는 점은 이 모든게 n과 d로 표현되기에 계산을 통해 정확히 얼마만큼 차이나는지를 구할 수 있다는 것입니다. 역시 단순 계산이므로 결과만 알려드리자면
an 이 0을 지나는 점 - 1/2=Sn의 꼭짓점 x좌표
입니다. 알 사람은 안다는 꽤나 유명한 관계인데요, 은근히 유용하므로 알아두시면 좋을 것 같습니다.
참고로 증명과정이 의미가 있으면 제가 증명을 해드리고 넘어갈텐데, 이번처럼 그닥 의미가 없으면 앞으로도 생략할 예정입니다.
이제 기하적인 접근으로 넘어가겠습니다.
다만 기하적인 게 재미는 있지만 수능 공부에 막 도움이 되는건 아니라서, 수험생분들은 그냥 넘어가셔도 좋습니다.
(2) 기하적 접근
Sn 과 an 을 한 평면에 나타내어 보겠습니다.
원래 Sn 과 an 은 n이 자연수일 때 정의되는데요, 여기서는 n의 범위를 실수 전체로 늘리겠습니다.
또, an 의 공차가 양수이고 x절편이 1/2이 아닌 경우를 다루겠습니다. (1/2인 경우를 제외한 이유는 곧 나옴.)
공차가 음수인 경우는 그냥 위 그림을 뒤집으면 되기 때문에, 음수인 경우도 포함하고 있다고 봐도 무방합니다. (대신 공차가 0인 경우는 안 됩니다. 그땐 Sn 도 이차함수가 아니라 일차함수가 되겠죠.)
Sn은 반드시 x축과 두 번 만나는데요, 두 교점은 그림처럼 A, C라 하겠습니다.
"이차함수니까 x축과 안 만날수도 있는거 아닌가?" 라고 생각하실 수도 있는데, 결론부터 얘기하자면 아닙니다.
Sn이 그냥 이차함수가 아니라 an 과 연관된 함수이기 때문인데요, 위에 무민공식을 보시면
S0 = 0이 늘 성립합니다. 그래서 최소 한 번은 x축과 만나게 됩니다.
"그럼 Sn이 0에서 중근을 가지는 바람에 한 번만 x축과 만날수도 있는거 아닌가?" 라는 합당한 의심이 들 수 있는데요, 그 경우에는 an 의 x절편이 1/2이 됩니다. 중근인 이 경우를 제외하고자 일부러 이 케이스를 뺐는데요, 이에 대해서는 뒤에서 자세히 다루겠습니다.
한편, Sn 과 an 은 반드시 2개의 교점을 가집니다. 증명을 위해 둘을 연립해보겠습니다.
Sn - an = Sn-1 이고, Sn-1은 Sn을 오른쪽으로 1만큼 평행이동한 함수입니다. Sn이 x축과 두 번 만나기 때문에 Sn-1도 x축과 두 번 만나고, 그 뜻은 Sn 과 an 이 반드시 두 번 만난다는 뜻입니다.
Sn 과 an 의 교점을 그림처럼 B, D라 하겠습니다.
B에서 Sn 과 an 의 함숫값이 같다는 것인데요, B의 x 좌표를 k라 해봅시다.
Sk = ak, Sk - ak = Sk-1 =0
A의 x좌표가 k-1임을 의미합니다. (위에 있는 그림을 참고하세요) 즉 점 A와 점 B는 x좌표 1만큼 차이납니다.
같은 원리로 C와 D의 x좌표가 1만큼 차이납니다. (엄밀히 하려면 B 증명할 때와는 달리 d의 경우에는 한 단계 더 거쳐야 하긴 하는데 뭐 그냥 받아들이셔도 됩니다 어차피 맞는 말이에요)
이때 앞서말했듯 S0 = 0이 늘 성립하는데요, 점 A와 C 중 하나가 원점임을 의미합니다. 이는 점 B와 D 중 하나가 x좌표가 1임을 의미하기도 합니다. (S1 = a1, 당연하죠!)
위에서 강조한
an 이 0을 지나는 점-1/2=Sn의 꼭짓점 x좌표
도 여기에 표현할 수 있는데요, A와 C의 중점과 an이 0을 지나는 점이 x좌표가 1/2만큼 차이날 겁니다. an 이 0을 지나는 점이 더 오른쪽에 있겠죠.
시각적으로 이 관계를 기억하고 계시는 게 좋을 것 같습니다.
더 깊게 간다면 얼마든지 깊게 갈 수 있는데, 수능에 도움될 만한건 여기까지 인 것 같습니다. 수요가 있다면 다음에 더 깊게도 써볼게요.
(+수정) 더 깊게 쓴 칼럼도 나왔어요!
Sn 과 an 의 관계 자체가 문제의 주제가 되지는 않습니다.
위에서 말씀드린
1. an 자체의 성질
2. an 과 Sn 의 관계
3. Sn 자체의 성질
중 1번과 3번이 문제의 주제가 되며, 2번은 중간과정 역할 정도입니다. 예를 들어
Sn 자체의 성질을 묻는 문제에서 중간 과정에 an 과 Sn 의 관계를 사용해야 하는거죠.
S1 = a1 임을 사용하던가, an 과 Sn 식을 변환해주어야 하는 식으로 2번 개념이 사용될 거에요.
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헛 저런방법이 있었다니
유용할거에요 ㅎㅎ
살미살적?
이 아닌 다른 방법!
ㅋㅋㅋ 저도 보다가
어? 이거 살미 살적 아닌가? 싶었네요 ㅋㅋㅋ ㅜㅜ
GOAT
ㄷㄷ
과외할 때 가르쳤던 내용이네요~
이런 내용이 있다 하고 짚어줬던 그런 내용들..
헉 알려진 거였군요
배쌤 강의에서 봤던거ㅎㅎ 신세계였죠
와 저랑 같아요 ㅠㅠ 첨봄
반대로 Sn에서 an을 구할때는 n은 2부터 라는 가정이 필요합니다. 물론 예시와 같이 Sn에 상수항이 없을 경우에는 n은 1부터 성립하지만, 상수항이 있을 경우에는 an이 n=1부터 성립하지 않습니다..!
상수항이 있으면 애초에 등차수열이 아니라서 본문 내용이 맞는 말 아닌가요 ??
본문은 등차수열인 경우만 다루고 있으니까요
아 그건 아니에요 보통 '등차수열 문제'라고 하면 '등차'의 꼴이 있으면 되거든요
상수항이 있는 경우에서 실수를 많이 한답니당
아 그리고 항상 물리 잘 보고 있습니다^^ 나중에 저 06년생 공부일지에 물리도 쓸건데요 혹시 시간 되시면 봐주세용 ㅠㅠ 물리 시간 내에 푸는게 어려워서오....
상대성이랑 열역학도 이상하게 헷갈리구요...
사용하기 전에 등차수열인지 아닌지 확인은 필수겠죠!
다만 저는 등차수열인 경우를 다루고 있는지라 그에 대한 다른 언급은 하지 않았습니다
엇 본문에 대한 반박?이 아니었어요 ㅋㅋㅋㅋㅎ 그냥 알고 있던 내용이라 이 내용도 다른 분들이 아시면 좋을 것 같아 추가로 더 적어본거랍니다..! 제가 오해하기 쉽게 적어놨네요! 글 잘 읽었습니다
뭐 엄밀히 말하면 라리가 님의 말씀이 맞겟죠???
근데 상수항이 있는 경우가 더 빈번해서요
다음 칼럼 주제는 지수로그 함수의 대칭으로 하겠습니다 ㅎㅎ
https://orbi.kr/00062039768 요청하신 칼럼 링크는 여깄어요!
잘봤습니다. 근데 1번 방법인 an을 Sn으로 변형시키는건 아무때나 사용해도 되는건가요?
문제를 풀다가 이 공식을 쓰니 너무 빨리 답이 도출되는데 이게 맞는건지 모르겠네요...
문제가 지향하는 풀이법을 다 건너뛴 느낌이라... 항상 감사합니다 감사합니다!
문제가 지향하는 변환 과정은 아마도 등차수열 합공식일건데요, 그거 너무 귀찮잖아요 ㅡㅡ
그래서 만들어봤습니다 ㅎㅎ
-1/2아닌가요?
어느 부분이요??
혹시 말씀하신게 an이 x축과 만나는 점의 x좌표+1/2=sn의 대칭축의 x좌표인가요?
넵 그렇게 써있는데?!
어뭐지..그럼 -1/2인것같은디..
그렇네요 좀 있다 수정 글 올리겠습니다.
알려주셔서 감사합니다
아마 단순 실수 같네요 글 내용은 유익했습니다 가끔 챙겨보고 있어요 ㅎㅎ
넵 감사합니다 ㅎㅎ
수정사항 글은 아래 링크입니다
https://orbi.kr/00061860931
Sn이 삼차식일때도 비슷하게 하면되나요?
Sn이 삼차식이면 일단 an은 등차수열이 아니라 이차식이 됩니다.
이 경우, 혹은 이보다 차수가 큰 경우에는 시그마의 관점으로 해석하는 걸 추천합니다.
예를 들어 볼게요.
an=5n^2 + 4n이라 하면 Sn= 5시그마 n^2+ 4시그마 n이 되겠죠.
an에서 4n에 해당하는 부분은 본문에서 말씀드린대로 처리하면 되는데, n^2 부분이 문제가 되겠죠. 이때 시그마로 접근을 해보면 n제곱 역시 쉽게 일반화할 수 있습니다.
n제곱을 적분하면 1/3 n세제곱
시그마 n제곱=n세제곱 /3 + n제곱 /2 + n/6 (알고 계시는 그 식 전개한거에요)
an이 이차식인 경우에 Sn을 도출하는 방식을 일반화를 해보자면,
an의 일차 이하의 부분은 등차수열 다루듯이 Sn 구하고, 이차 부분은 적분한 뒤에 n제곱 /2 + n/6에다가 이차항의 계수까지 곱해줘서 구하면 되겠네요.
그 다음 구한 두 개를 더하구요.
방금 든 예시의 경우 계수가 5니까 5n제곱 /2 + 5n/6을 더하면 되구요.
근데 이 방법은 딱히 이점이 없습니다. 그냥 시그마 쓰는게 빠르죠. 그래서 an이 이차 이상일 때부터는 그냥 시그마 쓰시는게 나을거에요 ㅎㅎ
헉 정성스러운 답변 감사합니다!!
삼차식이상일때는 시그마쓰는게 낫겠네요 ㅠㅠ