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구간별함수의미분가능성

저건 그냥 ×=0에서의 미분계수 아닌가? 좌미분계수=우미분계수도 알수 있는 표현인가?

0에서 미계가 존재하려면 좌미랑 우미가 같아야해요.. 애초에 정의임

근데 ×<0에서랑 x>=0에서의 함수가 다른데도요?
g(x)가 0에서 미분 가능하다는 말도 없는디

아 그런가 기억이 안나서

ㅋㅋㅋㅋㅋ재밌네 ㅋㅋㅋ

아니 컨셉인지아닌지 모르겠네 설령 개념이부족해서 (가)조건이 미분가능을 포함하는 건지 모른다 하더라도 어쨌든 0에서 연속인건 팩트고 함수도 초월함수 보자는것도아니고 3차함수 정의해주는데 3차함수 미분계수 0일때가 어떻게 조합해야 도함수가 불연속적으로 나와 ㅆㅂㅋㅋㅋ

님 말마따나 도함수 좌극한 우극한 다른 이차함수로 예를 들어서 그려놓고 역으로 원함수는 연속적이게 그래프 그려보셈 거기서 미분계수를 백날 구할수가있나ㅋㅋ 그래서 도함수값이 존재하면 미분가능하다는거임

네

위에 댓글 좀 읽어봐 주세요

g’(0)이 존재한다는게 결국 위랑 같은소리임

전 양변 x로 나눠서했는데 뻘짓이였는듯

글씨 잘 쓰시네요

g'(0)=0 결국 존재한다고 (가)조건에서 말해주고 있으니, g라는 함수가 x=0에서 미분가능하다~라는 걸 말해주고 있쥬
그러니 x=0에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같다고 생각하시면 될듯요

도함수 값이 있다고 미분가능하단 건 아니잖아요

도함수값이 존재하다는 것이 미분계수가 존재한다는 것이고 곧 미분 가능하다는 뜻입니다.

근데 저기선 ×=0을 기준으로 좌우 함수가 다른데요

네 상관없습니다. g'(0)=0이면 g(x) 식을 매끄럽게 작성할 수 있든 구간 별로 다르게 함수가 정의되어있든 상관없이 함수 g(x)는 x=0에서 미분가능하며 이때의 미분계수는 0입니다.

저도 윗 분이랑 같은 말을 길게 쓴겁니다만..

(가) 조건에서 g'(0)=0이라는 것은 함수 g(x)가 x=0에서 미분 가능하고 이때의 순간변화율이 0이라는 뜻입니다. 다시 말해 평균변화율의 우극한이 0으로 수렴하고 좌극한이 0으로 수렴한다는 뜻입니다.

(나)에서 평균변화율의 우극한을 생각해보면 미분계수의 정의에 따라 f'(p)입니다. 평균변화율의 좌극한을 생각해보면 미분계수의 정의에 따라 f'(-p)입니다. 즉, (가) 조건만으로 f'(p)=0이고 f'(-p)=0이므로 f'(p)=f'(-p)=0을 이끌어낼 수 있습니다.

함수가 구간 별로 다르게 정의되었다고 미분 불가한 것이 아닙니다.

함수 f(x)가 x=a에서 미분 가능
=f'(a)가 존재
=함수 f'(x)가 x=a에서 정의됨
=lim (h->0) [f(a+h)-f(a)]/h 존재
=lim (h->0+) [f(a+h)-f(a)]/h가 존재하고 lim (h->0-) [f(a+h)-f(a)]/h가 존재하며 두 수렴값이 일치

모두 함수의 극한의 정의와 미분계수의 정의에 의해 교과서적으로 유도 가능한 내용입니다. 이를 일반화한 것이 위에 댓글에 언급된 '구간 별 함수의 미분가능성'이라 주로 불리는 실전 개념입니다. 필요하시면 유도 과정과 증명 과정을 작성해 남겨두겠습니다.

비슷한 맥락에서 작년 수능 20번을 떠올려봅시다. a(t)가 t>=2에서 어떻게 정의되는지 식이 제시되었던 것으로 기억하는데 a(t)가 t=2에서 정의된다는 것만으로도 v(t)가 t=2에서 미분가능한 것이고, 미분가능하므로 t=2에서 연속인 것까지 확인할 수 있습니다. 평가원에서 괜히 부등호에 등호를 끼워준 것이 아닌데 '이렇게 풀어도 되나?'라고 질문하던 분들이 기억 나 남깁니다. 질문하신 것과 정확히 일치하는 맥락입니다.

<2023학년도 3월 20번>
g'(0)이 정의됨 -> 함수 g(x)는 x=0에서 미분 가능

<2023학년도 수능 20번>
a(t)가 t=2에서 정의됨 -> 함수 v(t)는 t=2에서 미분 가능 (v'(t)=a(t))

속도함수는 애초에 미분가능하고 제가 올린문제의 함수는 아니잖아요

올린 문제의 함수에 대한 설명이 위에 있고, 추가적인 설명을 위해 속도 함수를 가져왔습니다. 속도 함수도 자연에서 불가할 것으로 예상할 뿐이지 이론 상 인위적으로 불가한 때를 집어넣을 수 있습니다.

다르부 정리에 의해 도함수 g'(x)가 x=0에서 함숫값을 갖고 g'(x)의 x=0에서의 극한값이 이와 다른 함수 g(x)는 존재하지 않습니다.
x=0에서 g'(x)가 발산할 경우에는 미분계수가 존재할 수도 있지만...

미분가능성은 항상 미분계수의 정의와 함수의 극한이 존재할 조건 생각하여 접근하시면 쉽게 해결 가능합니다

도함수가 불연속할때 특정 지점에서 도함수값이 있기는 하잖아요.

g(x)가 정의된 상태에서 g'(0)라는 표현을 썼다면 g(x)가 0에서 미분가능하다는 걸 내포한다고 볼 수 있습니다.

그러니까 저런 f'(x)가 존재하면 f(x)는 저 점에서 미분불가능이라고요
다르부 정리...

다르부의 정리에 의해 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때 (f'(x)가 x=a에서 정의될 때) f'(x)가 저런 식으로 불연속일 수는 없습니다.

그니까여 제가 올린 문제에서 g(x)가 미분 가능하다는 말이 없잖아요

g’(0) = 0이라고 적혀있으니깐 0에서 미분가능인거죠

제가 댓글에 올린 그림보면 f'(x)에서 ×=0에서 값이 있지만 불연속이잖아요

다르부의 정리에 의해 그렇게 불연속일 수는 없습니다.

https://youtu.be/fI-sZ159k1A

참고해보시면 학습에 도움이 될 것이라 생각합니다.

g'(0)이 존재한다는 것이 g(x)가 x=0에서 미분가능하다는 뜻이고요, (나) 조건을 통해 x=/0일 때는 g(x)가 미분가능할 수 있습니다. 따라서 주어진 조건에 의해 g(x)는 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수입니다.

g'(x)가 아니라 g(x)만 제시해 놓고 g'(x)라는 표현을 쓰면 그렇게 봐야 하지 않을까 싶네요.
안 그러면 원함수가 미분불가능이고 도함수를 제거 가능 불연속점을 가진 상태로 상정했을 때 안 풀리는 문제가 너무 많죠.

수2 문제에 원함수가 미분가능이고 도함수가 연속이라고 일일이 쓰는 것도 좀 그렇고...

g'(x) 식을 제시했더라도 (가) 조건을 통해 g(x)가 x=0에서 미분가능함을 알 수 있습니다. 다만 이때 g'(x)의 x=0에서의 연속성은 파악할 수 없는데 이는 다르부의 정리에 의해 위에 우맹 님이 말씀하신 것처럼 도함수가 불연속일 수는 없음을 확인 가능합니다.

g'(0)이 존재
=함수 g(x)가 x=0에서 미분 가능
=함수 g'(x)가 x=0에서 정의됨
=lim (h->0) [g(h)-g(0)]/h 존재
=lim (h->0+) [g(h)-g(0)]/h가 존재하고 lim (h->0-) [g(h)-g(0)]/h가 존재하며 두 수렴값이 일치

다르부의 정리에 의해 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 다시 말해 f'(a)가 존재할 때 f'(x)가 x=a에서 불연속이더라도 위 댓글에 남겨주신 사진처럼 불연속일 수는 없음

함수값하고 극한값은 다른 문제인데 함수값을 줬다고 극한값까지 정해버릴순 없잖아요

우선 문제를 풀 때 g'(x)의 x=0에서의 연속성은 고려할 필요가 없습니다. g'(x)의 x=0에서의 함숫값이 0이라는 것만으로 미분계수의 정의를 활용해 f'(p)=f'(-p)=0 조건을 얻을 수 있는 점 밝히겠습니다.

g'(x)의 x=0에서의 연속성을 조사하고 싶다면 직접 해보시면 됩니다. 이때 각 구간 별로 정의된 함수가 다항함수이기 때문에 g'(x)가 x=0에서도 연속임도 자명하긴 하다만 만약 앞서 댓글에 올려주신 그림과 같은 상황이 되지 않느냐 궁금하시다면 다르부의 정리를 학습해보시기 바랍니다. 다르부의 정리에 따르면 g'(x)가 x=0에서 정의되어도 불연속일 수는 있지만 올려주신 그림처럼 불연속일 수는 없습니다.

간혹 구간 별로 정의된 함수의 미분가능성을 판단할 때 각 구간의 함수를 미분하여 도함수의 연속성으로 조사하시는 분들이 있는데 이는 다음의 조건을 만족할 때만 가능합니다. 일반적으로는 미분계수의 정의를 활용해 평균변화율의 우극한과 좌극한을 조사해야합니다.

1. 함수 f(x)가 x=a에서 연속
2. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 f'(x)가 연속
3. x=a에서 f'(x)의 우극한, 좌극한이 존재

g’(0)이 존재한다는 게 g가 0에서 미분 가능하단 건데

이정도면 어그로아니냐

작수 미적 1이고 진짜 이해가 안돼서 그래...

https://orbi.kr/00062534685

구간별함수 미가를 이해못하는데 미적1을 어캐 받은거지 ㅋㅋ

그러게~ 수2는 오랜만이라 그랬나

g'(0)이 정의가 된다는거 자체가 x=0에서 미분 가능하다는거고 미분 가능하다는건 연속이고 좌미분계수랑 우미분계수랑 같다는거니까 g(0-)=g(0+)=0으로 연속인거고
g'(0-)=g'(0+)=f'(-p)=f'(p)가 나올 수 있잖나요?

맞습니다. 다만 g(0-)과 같은 표기가 lim (x->0-) g'(x)를 의미하신 것이라면 g(x)가 아래를 만족하기 때문에 사용할 수 있고 일반적인 상황에서는 미분계수의 정의 lim (x->0) [g(x)-g(0)]/x를 활용하면 됩니다.

1. 함수 g(x)가 x=0에서 연속 (g'(0)이 존재하므로 미분가능하고 연속)
2. x=0를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=0를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 연속 (다항함수는 실수 전체의 집합에서 연속)
3. x=0에서 g'(x)의 우극한, 좌극한이 존재 (다항함수는 실수 전체의 집합에서 극한값이 존재)

도함수의 함수값이 존재하게 되면,도함수의 극한도 존재하게 됩니다 이건 원리를 알아야 이해할 수 있습니다

도함수의 함숫값이 존재한다고 도함수의 극한값도 존재하는 것은 아닙니다. 미분가능성은 오직 도함수의 함숫값이 정의되는지를 알려줄 뿐 도함수의 연속성에 관한 정보는 직접적으로 주지 않아요

g'(0)=0으로 존재한다는 것은 x= 0에서 g(x)가 미분가능하다는 말이잖아요? 그렇게 되면 limx->0+g(x)-g(0)/x=limx->0- g(x)-g(0)/x가 성립된다는 뜻아닌가요? 만약 성립이 안된다면 위의 문제는 오류일텐데요?

그것은 도함수의 극한이 존재하는 것이 아니라 평균변화율의 극한, 다시 말해 순간변화율이 존재한다는 뜻입니다.

함수의 미분가능성은 미분계수의 존재 여부, 다시 말해 평균변화율의 극한의 존재 여부에 의해 결정되며 도함수의 연속성은 직접적으로 관련 있지 않습니다. 만약 도함수의 연속성을 통해 원함수의 미분가능성을 조사하고자 한다면 아래 조건을 만족해야합니다. 아래 조건을 만족할 때 도함수가 x=a에서 연속이라면 원함수는 x=a에서 미분가능함을 알 수 있습니다.

1. 함수 f(x)가 x=a에서 연속
2. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 f'(x)가 연속
3. x=a에서 f'(x)의 우극한, 좌극한이 존재

참고로 도함수의 극한이 존재하지 않지만 도함수의 함숫값이 존재하는 사례로 x=/0에서는 x^2*sin(1/x), x=0에서는 0으로 정의된 함수가 존재합니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만, 다시 말해 도함수의 함숫값이 존재하지만 x=0에서 도함수는 극한값이 존재하지 않아 도함수가 불연속입니다.

아 반례가 존재하는군요.. 다항함수만 보았어서 반례가 없는 줄 알았는데 다시 말해 진리인줄 알았는데 아니였군요 제 머리를 깨주셔서 감사합니다 반례는 항상 기억해야한다는 마음으로 이또한 기억해둬야 겠습니다 역시 참님인가 수학으로는 못비비네여

수능에 출제되는 대부분의 경우에서는 함수의 미분가능성을 도함수의 연속성으로 조사할 수 있습니다. 웬만하면 위에 언급한 조건을 만족하기 때문이죠 ㅎㅎ 다만 명제의 참 거짓 여부로 본다면 [함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f'(x)는 x=a에서 연속이다.]는 거짓입니다.

f'(a)의 존재 여부로 lim (x->a) f'(x)의 정보를 파악할 수 없기 때문이고, 직관적으로 와닿지 않는다면 위에 언급한 반례를 통해 확인할 수도 있습니다. 저도 수학 잘 모르는데 이거 하나 더 알고 있었네요! ㅋㅋㅋㅋ 학습에 도움이 되셨으면 좋겠습니다.

도움 많이 됐습니다!! 덕분에 사설이라든지 모의고사라든지 수능에서라든지 최소한 이 부분에 대해서는 실수는 없을 듯합니다! 감사합니다 ㅎㅎ

질문이 있는데요 x=/0에서는 x^2*sin(1/x), x=0에서는 0으로 함수 g(x)를 정의한다고 하면 g'(0)=0임을 가지고 g(x)의 좌미분계수= 우미분계수=0 이라고 식을 세울수 없지 않나요?

g(x)를 그렇게 정의하면 미분계수의 정의에 따라 g'(0)=0임을 알 수 있습니다. lim (x->0) [x^2*sin(1/x)]/x 에서 x*sin(1/x)은 sin(1/x)가 -1과 1 사이의 값이라는 점에서 샌드위치 정리를 통해 0으로 수렴함을 보일 수 있기 때문입니다. 다시 말해 g(x)만 주어져도 g'(0)=0임을 알 수 있기 때문에 g'(0)=0 조건을 주는 것은 불필요함을 먼저 밝힙니다.

만약 g(x)를 그렇게 정의했어도 g'(0)=0 에서 좌미=우미=0을 활용할 수 있습니다. 이는 미분계수의 정의를 따르기 때문입니다. 다만 이때 좌미분계수는 평균변화율의 좌극한으로서 도함수의 좌극한과는 다른 의미를 같습니다. g'(x)는 x=0에서 불연속이고 (함숫값은 존재하나 극한값이 존재하지 않습니다) 직접 조사해보시면 lim (x->0-) g'(x)는 존재하지 않습니다.

따라서 '평균변화율의 좌극한과 평균변화율의 우극한이 존재하며 그 값은 0으로 일치한다'는 정보를 마찬가지로 사용할 수 있지만 도함수의 극한은 발산함을, 즉 수렴하지 않음을 확인 수 있습니다.

충분히 납득 안되시면 말씀해주세요, 설명 작성해서 남겨두겠습니다

그래서 오류가 아닌건가요

네

우리 게이는 수능 몇등급이노?

23수능 미적1임

몇점이냐고

근데 현 수능은 저런 부분 엄밀하게 공부 안하고 대충 양치기만 해도 1등급 충분히 나오긴 한다 생각해요, 저도 고3 때 모의고사는 계속 1 떴지만 저런 거는 후에 알게 되었어서

책참님 제 게시글에 답변좀 부탁드려도 될까요?

미적1 인증 ㄱㄱㄱ

엄….

가 조건에서 극값이 존재하니까 미분가능이죵

제목보고 들어오기 전부터 싱글벙글

니 말대로 오류니까
걍 그렇게 알고 수능때도 틀리자

아니 함수가 다르다고 해도
G프라임 0이 0이라고 문제에서 줬으면
함수가 그렇게 설정되도록 출제 된거 아닌가요?
그래서 저거는 당연한거 아닌가
무슨 말인지 잘 모르겠는데..

모를수도있지 다들 너무 뭐라하네

부족한게 죄임?

ㄹㅇ 이 분이 뭘 잘못한거임

그냥 그렇구나하고 받아들이셈