0/0 꼴 극한의 해석 (ft. 로피탈의 정리 증명)
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00062600708
제목이 0/0은 '영 분의 영'이 아니라 '무한소 분의 무한소' 꼴이라고 읽는 것이 더 적절하다고 알고 있습니다. 무한대와 비슷한 느낌의 단어로 받아들이시면 좋겠습니다. 그럼 시작하겠습니다!
이거 극한 어떻게 구할까요?
지금은 (분모)->0 이니 함수의 극한의 성질에 따라 lim를 분배할 수 없습니다.
대표적인 방법은 인수분해나 유리화 등을 통해 lim를 분배해줄 수 있는 상황을 만드는 것일테죠!
이럼 우리가 극한을 처리할 수 있겠습니다.
자 이제 일반적인 상황을 떠올려봅시다.
이러한 상황에서 아래 조건이 충족된다 합시다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
그럼 우리는 분모 분자에 각각 f(a), g(a)를 빼주고
분모 분자를 x-a로 나눠주고
이제 lim를 분배함으로써
주어진 극한이 아래가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 앞으로 아래의 세 가지 조건을 만족할 때 우리는 주어진 극한을 분모 분자 각각 미분하고 독립변수 (x) 가 가까이 가는 값 (a)을 대입해주면 되겠습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a에서 미분가능
2. f(a)=g(a)=0
3. g'(a)가 0이 아님
이제 로피탈의 정리도 공부해봅시다. 결론부터 말하면 이러합니다.
방금 학습한 식과 굉장히 비슷합니다. 하지만 분모 분자에 위치한 함수의 도함수가 x=a에서 연속이 아니라면 위의 식과 같은 값을 지닌다고 말할 수 없을 수 있습니다. 로피탈의 정리는 아래 조건을 만족하는 상황에서 적용 가능합니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L 이고 g(x)->L (L 자리에는 숫자 0이나 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. x->a 일 때 f'(x)/g'(x)가 수렴
증명은 아래 글을 참고하시면 좋겠습니다.
[칼럼] 로피탈은 교육과정 외가 아니다
증명 잘 보고 오셨나요?
로피탈의 정리를 적용할 수 있는 조건을 정리해보면 다음과 같습니다.
1. 함수 f(x), g(x)는 x=a를 포함하는 열린 구간에서 미분가능
2. x->a일 때 f(x)->L & g(x)->L (L 자리에는 숫자 0 or 양의 무한대, 음의 무한대가 들어갈 수 있음)
3. x=a를 포함하는 어떤 열린 구간의 x=a를 제외한 나머지 구간에서 g'(x)가 0이 아님
4. f'(x)/g'(x)->k as x->a (단, k는 상수)
처음 극한을 두 가지 방법을 사용해 처리해봅시다.
먼저 조건을 확인한 후 미분계수의 정의를 활용하면
이렇게 될 것입니다.
마찬가지로 조건을 확인한 후 로피탈의 정리를 적용하면
이렇게 될 것입니다.
우리 앞으로 다항함수(수학2)든 초월함수(미적분)든 0/0꼴 극한은 위 두 가지 방법 중 하나로 처리할 생각도 해봅시다!
p.s. 처음에 함수의 극한 맥락에서 나오는 0/0 읽을 때 '영 분의 영' 말고 '무한소 분의 무한소'로 읽자고 했습니다. 이유는 그야...
있어보이니까
.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
포도맛 벌컥벌컥
-
실력이 올라갈수록 틀리는 게 제일 어러운게 아니고 랜덤이라는 생각이 듬 뽑기같음...
-
방학때 국어 공부 안하고 이청준 전집사서 아침마다 읽어봐야지
-
ㅂㅂ요 13
잠시동안 즐거웠슴다
-
맞춤법은 이해 좀..
-
나만그럼?
-
피뎁충 많아서 반박 없을 거 같긴해 ~
-
Zzzㅋzzzㅋ 추천영상(for you)에 200만 유튜버인 내가 하루아침에...
-
화작 vs 언매 6
고2 정시파이터입니다. 이제 곧 기말이 끝나고 여름방학이라는 시기가 찾아오네요....
-
수학 실모 추천 11
서바이벌 강대모의고사k 킬링캠프 장영진모의고사 이로운모의고사 설맞이모의고사...
-
지구 1등급 8
현역 수능 2등급 이었는데 수능 판 온지 너무 오래 되어서 .. 기억이 거의...
-
투과목 문제는 왤케 무섭게 생겼지 생긴것부터 거부감드는데
-
고2 정시파이터입니다 고2 3모 6모 기준 백분위 98 정도 나오고 화작 선택할...
-
소중하고 주머니에 넣고 다니고 싶음 커리도 전부 사서 완강하고 소장하고싶음
-
생2 도와주세요 3
ㄴ 선지 atp수로 판단하던데 평소에 기출같은거 풀때 만들어지는 물분자의 수랑 아예...
-
초딩~고등학교 수시할 때까지는 그런 줄 알았는데 지금보니 딱히 저능아는 아닌 듯..;;
-
고등학교 때까지만 해도 체대 고민해볼 정도였는데 이젠 친구 이삿짐 옮겨주는 것도...
-
제가 고2 시작하자마자 자퇴해서 수1,2, 미적 다 노베였습니다.. 4월에 개념...
-
강윤구T 질문 6
지금 포3공통 듣고 있고이후에 포2랑 4공법스타터 병행할 예정인데 기출구는 언제 하는게 좋을까요??
-
저능한 사람은 본 적 없음 어떤 분야든 제가 항상 가장 저능했던 것 같음
-
다룬 모든 강사들이 진실을 외면하고 공부가 노력으로 된다 말하던 때 공부는 당연히...
-
화작런 0
요즘 약간 개념 흔들리기도 하고있고 약간 화작런 할까 아님 전형태 언매 클리어...
-
쇼츠에서 말하는 거 들어보니 내가 평소에 하던 생각이랑 비슷한 생각을 갖고 계시군
-
ㅋ
-
맞더라 근데 사는데 지장 없음
-
https://youtube.com/shorts/nTqkKYLh4Jc?si=9we2L...
-
ㅈㄱㄴ
-
2028부터 정시는 확통이랑 통사,통과만 응시하는데 논술은 지금도 미확기 다 내고...
-
[단독] 첫 인구부 장관에 여성 거론…"저출생 어려움 체감해야" 14
저출생 문제에 대응할 부총리급 인구전략기획부(인구부) 신설 계획이 발표된 가운데...
-
체력이 딸린다
-
정시로 '-1명' 이월될 상황이라서 몇년 뒤 수시에서 1명 덜 뽑기로 하고 정시...
-
와쿠와쿠
-
ㅋㅋ 관심 없을려나
-
학교 측의 결정도 이해가 안 가는 결정은 아닌거 같기도 함 28수능부터 탐구가...
-
4일 뒤면 7모인뎅.... 나만 관심있지 ㅠㅠ
-
인문논술 개쌉노베라 지금부터 일주일에 3-4시간 씩은 투자하고 싶은데 1달 정도는...
-
수2 개념은 3월에 시발점으로 시작했고, 미적분까지 완강했고 현재 수2 기출...
-
ㄹㅇ 가슴이 뛰는 일도 없고 뭐 해야 할지도 모르겠고
-
일단 작수는 문법 다 맞음. 백분위 99 근데 가끔 언매 시간 20분 쓰고 시험...
-
궁금함
-
대치동에 어지간한 사람들 다 반대하던데 확실히 대치동이나 8학군 분들이 눈치도...
-
진짜 내 우산 함부로 써놓고 함부로 다른데 꽂아놓은 무개념이 오르비를 할 지는 잘...
-
어느순간 나도 모르게 감이 옴 벅벅이 답이다...
-
니가 나만큼 괴롭다고??? 웃기지마 누가 그러게 정공4급으로 낳으래???? 누가...
-
투데이가 외이레 새벽에 본건가
-
션티 kiss essence 띵학 그럼에도 불구하고
-
저희 부모님은 아예 몰라서 제가 다 알아서 했음 물론 내가 독립적인 성격인 것도 있지만
-
Farewell 5
가 을에 뵈요!
선좋아요 후감상!
앗 참고로 저는 '응꼴'로 읽습니다ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅠㅠ 저는 그럼 '%꼴'로 읽을래요
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/2020_foolsday/oribi/006.gif)
응꼴잘읽었습니다!
ㅠㅠ 감사합니다
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/014.png)
결론부 마음에 듭니다 ♡무한소 분의 무한소 꼴.
역시 간지의 학문 수학..
한성은 선생님 어록... 결국 모든 것은 '잘난 체하기 위해 배운다'
항상 잘 읽고 있습니다 감사해요!
감사합니다, 학습에 적절히 활용하셨으면 좋겠습니다!
한성은 현장 수강생이면 개추ㅋㅋ
막줄독해 성공
ㅋㅋㅋㅋㅋ 굿