우주론 강의 1. 우주론의 기본원리&허블 법칙의 유도

음... 시간이 남을 때 우주론에 대한 강의를 좀 써보려고 합니다. 

좀 어려울 건데요. 관심있는 학생들도 있지 않을까 해서 써봅니다(반응이 별로면 그만둘지도... ㅎ).  

수식은 한글에서 써서 캡쳐한 뒤에 붙였는데(여기 수식 문법에 익숙하지 않아서) 자동으로 크기를 맞추려고 하는건지 크기가 제각각이네요. 음... 별로네요... 아무튼 시작합니다. 

1. 등방성과 균질성

우주론의 기본원리는 등방성과 균질성이다. 등방성이란 관측자가 어느 방향을 관측하건 같은 모양을 관측한다는 것이다. 균질성은 밀도가 균질함을 의미한다. 

우리가 밤하늘의 별을 보면, 이것이 성립하지 않는 것처럼 보인다. 좁은 영역에서는 등방성과 균질성이 성립하지 않는 것처럼 보인다는 것이다. 그러나 큰 범위에서는 얼추 성립하는 것처럼 보이게 된다. 

그림은 기본 천문학(구판 p.457)에서 가져왔다. 좁은 원에는 은하가 2개 있고, 중심에서 이 원 내부만 관측한다면 등방성과 균질성이 성립하지 않는 것처럼 보인다. 그러나 조금 더 큰 원 내부까지 관측한다면 이제는 얼추 등방성과 균질성이 성립하는 것처럼 보인다. 이처럼 우주는 큰 영역에서 등방성과 균질성이 성립하는 것처럼 보이고, 우주론에서는 이를 기본 원리로 가정한다.

2. 로버트슨-워커 계량

직교 좌표계에서 시공간 거리는 다음으로 정의된다. 

이때  는 고유거리를 나타내는 부분이다. 고유거리는 우리가 일반적으로 생각하는 어떤 한순간 공간상의 두 점 사이 거리이다. 

만약 우주가 등방성과 균질성을 만족한다면, 고유거리 부분을 바꿔서 시공간 거리를 다음으로 나타낼 수 있다(유도는 하지 않는다.).

여기서 a(t)는 척도인자라고 하며, 우주의 상대적 크기를 의미한다. 정확한 우주의 크기를 알 수 없으므로, 현재 우주의 크기를 1이라고 하고, 어느 시점에서 우주의 크기를 현재 우주의 크기와 비교한 값이다. 상대적 크기이므로 무차원이다. 

이 식에서 거리를 나타내는 부분을 다음으로 쓰자.

d_p는 고유거리이다. X는 공변거리이다. 이 값은 지금 현재 어떤 점이 나로부터 떨어진 거리이며, 변하지 않는다. 

예를 들면, 지금 어떤 은하 A가 나로부터 떨어진 거리가 1Gpc이라고 하자. 이 은하는 공간상에서 운동하지 않는다고 가정하자. 현재 척도 인자는 정의에 의해 1이므로 X=1Gpc을 얻는다. 이제 먼 미래에 우주의 크기가 지금의 2배가 되었다고 하자(즉, a=2). 그러면 은하 A의 고유 거리는 2배가 되어 d_p=2Gpc이 될 것이다. 그러면 X는 여전히 1Gpc임을 확인할 수 있다. 이처럼 어떤 점까지의 공변거리는 우주가 커진다고 해서 값이 변하지 않는다. 

또, 위 식을 보면 X가 일정하므로 r, theta, phi 또한 일정해야 할 것이다. theta, phi는 적경, 적위와 같은 개념이라고 생각하면 된다. r은 공변좌표로, 이 값 또한 일정하며 우주론에서 다양한 거리를 정의함에 있어 자주 보게 될 것이다. 

3. 허블 법칙의 유도

자, 이제 고유거리를 시간에 대해 미분해보자. 그러면 이것은 어떤 점이 나로부터 이동하는 속도를 나타내게 된다. 

X는 시간에 대해 상수이므로 시간에 대해 미분할 경우 0이 되므로 위와 같이 될 것이다. 

이제 

로 정의하면, 식은 보다 간단해진다. 

이 H(t)는 어느 순간 t에서 우주의 모든 공간에서 같은 값을 가진다. 이것을 허블 상수라고 한다. 그러니까 어떤 공간상의 점이 나로부터 멀어지는 속도는 허블 상수와 고유 거리의 곱으로 주어지게 된다. 

유도 과정에서 우리가 가정한 것은 로버트슨-워커 계량 뿐이다. 그러므로 우주에서 로버트슨-워커 계량이 성립할 경우에 허블 법칙이 성립한다. 즉, 우주가 등방성과 균질성을 만족한다면(그리고 상대성 이론이 옳다면) 우주에서 허블 법칙이 성립한다. 

그러니까 우리가 다루는 모든 우주 모형에서 허블 법칙이 성립한다.

단, 이때 허블 법칙은 공간상의 점이 멀어지는 속도는 고유거리에 비례한다는 것이다. 만약 허블 법칙을 적색편이와 광도 거리(거리-지수 공식으로 구해지는 거리) 간의 비례 관계라고 한다면, 적색편이가 1보다 매우 작은 범위에서만 성립한다.