나머지 정리, 인수 정리
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00066526636
다항식 f(x), g(x), h(x), i(x)가 있습니다.
f(x)를 g(x)로 나누었을 때 몫이 h(x)이고 나머지가 i(x)이면
위가 성립합니다. 이때 (한글 표현 헷갈려서 영어로 작성하면)
f(x)를 the dividend
g(x)를 the divisor
h(x)를 a quotient
i(x)를 a remainder
이라고 합니다. 참고로 저 deg는 degree에서 온 표현으로
괄호 안 다항식의 차수를 뜻합니다.
즉, 나머지에 해당하는 i(x)의 차수는
divisor에 해당하는 g(x)의 차수보다 항상 낮다는 것이죠!
혹은 i(x)=0이거나요 (별 의미 없어 보이지만 생각보다 의미 있음,
참고로 1, 2, 3과 같은 상수는 0차식이지만 0은 차수가 존재하지 않음)
예를 들어 삼차식 x^3-2x^2-5x+3을 일차식 x+2으로 나누면
나머지에 해당하는 R(x)는 상수항이 됩니다.
같은 삼차식을 이차식 x^2+3x+2로 나누면
나머지에 해당하는 R_2(x)는 일차식 혹은 상수항이 됩니다.
f(x)를 g(x)로 나누는 상황 중 나머지에 해당하는 i(x)가 0인 경우가 있는데
이때 "다항식 f(x)는 다항식 g(x)로 나누어 떨어진다"라고 이야기 합니다.
쉽게 말해
f(x)를 g(x)로 나누어 h(x)가 몫이고 i(x)가 나머지일 때
다항식 f(x)-i(x)는 항상 g(x)로 나누어 떨어지겠죠!
이제 예제를 하나 풀어봅시다,
다항식 (P(x))^2이 x^2-x+1로 나누어 떨어질 때
다항식 P(x)를 x^2-x+1로 나눈 나머지를 구하는 문제입니다.
출처는 쎈 고등 수학(상) 1판6쇄 I-02 C단계 243번입니다.
일단 (P(x))^2를 x^2-x+1로 나눈 상황과
P(x)를 x^2-x+1로 나눈 상황을 조건에 주었으니
나머지 정리에 따라 식을 작성해봤습니다.
해볼 수 있는 것이 없으니 후자의 양변을 제곱해
전자의 좌변을 얻고자 해보았고
식을 정리해보니 다음과 같았습니다.
이때 R(x)=0 or R(x)=px+q (p, q는 상수) 입니다.
왜냐하면 the divisor가 2차식이었기 때문에
a remainder는 1차 이하의 다항식 혹은 0이기 때문입니다.
그런데 R(x)=px+q이면
가 됩니다. (P(x))^2가 x^2-x+1로 나누어 떨어지므로
(px+q)^2도 x^2-x+1로 나누어 떨어져야 합니다.
다시 말해 x^2-x+1를 인수로 가져야 합니다.
그렇지 않으면 나머지가 발생하게 됩니다.
그런데 p가 0이 아닐 때 (px+q)^2는 이차식입니다.
p=0이면 좌변이 q^2이 되어 우변에서 Q_4(x)=0이어야
상황이 성립합니다. 따라서 Q_4(x)가 상수여야
양변의 차수가 일치하게 됩니다.
그런데 k(x^2-x+1)는 완전제곱식이 될 수 없습니다.
판별식 적용해보시면 D<0이므로 이차함수의 그래프가
x축에 닿지 않는 상황이기 때문입니다.
따라서 모순이 발생합니다, 좌변의 (px+q)^2는
x=-q/p일 때 0이 되기 때문입니다.
따라서 p가 0이 아니라는 가정은 잘못 되었고
p=0이므로 그에 따라 q^2=0, q=0이 됩니다.
따라서 정답은 0이 됩니다.
p.s. 조립제법 여태 조립제+법으로 알고 있었는데
조립+제법이 맞고 Synthetic division으로 불리는 것이었던 ㅋㅋㅋㅜ
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
반수 on 1
화1생2로 설컴 let's go
-
저렙노프사 점령 8
-
이과 친구들이 사탐런을 하더라도 여기로는 절대 안오기 때문입니다 안전한 방공호 ^^
-
블루클럽가서 커트데이트하실분
-
.
-
작년에 드릴4풀땐 걍 풀렸는데 5는 한문제 푸는데 15분넘어가고 그럼 머가 더 어렵나요
-
수학 공부 1
현재 수학 완전 노베이스인데 정승제 개때잡 듣을까요 이승효 상승효과로 컴팩트 하게 하는게 좋을까요?
-
4점차면 바로 언매런 한다
-
오히려 이러면 사탐런하는게 더 이득이 되겠네요 등급컷이랑 몇몇과목의 만표를 볼때...
-
성적표 9
우리만 받은거구나
-
합격자 95%가 사용하는 세특 작성하는 방법 대입과 합격에 관심이 높고 똑똑하신...
-
3d로 본다.
-
윗집에서 내 히카 뽀려감 박스 까고 봉투까지 다 뜯어놨네
-
내가 밉다
-
이적료는 40m 로든 10m 포함해서 사실상 30m
-
화2어렵다 4
시험전날에 시작하니 꽤나하드코어네요 a 되려나
-
수강후기 커뮤에 돌아다니는거 몇개봤는데(팩트인지 아닌지는 모르겠네요) 어려워서...
-
사탐런하려면 윤사가 꿀통이네 윤사 만표 이 썩겠다
-
태성? 본관? 혹시 어디에서 하시는지 아시는 분 계신가요..?
-
이제 반수 시작하는 반수러인데 이번에 6모 현대소설 고전소설 다 연계된건가요??...
-
만년 3뜨다가 6모때 개같이 4뜨고 영어 독해력자체를 늘리고싶은데 작년 알고리즘...
-
시즌2 난이도 많이 빡셈? 다 킬러급?
-
지금 김기현쌤 아이디어 다 들었고 회독도 몇 번 한 상태입니다 교육청은 높3 정도...
-
근육이 이완할 때 액틴 마이오신이 겹치는 부위가 아예 사라질 수 있는 건가요? 기말에 나와서요
-
생윤 생명을 같이봤네 왜지
-
기출을 고2때 내신한다고 몇번 보고 고3 올라오고부터 지금까지 시대컨 강사컨 풀면서...
-
오늘은 오랜만에 비문학 자작 세트로 돌아왔습니다 5번과 6번은 글의 내용과 대조하여...
-
올해는 그냥 교재 독학하면서 아리까리 한거,틀린 문제만 강의듣고 넘기려고 합니다...
-
시바 60문제중 28개틀린거면 그냥 다시 공부해야하냐? ㅋㅋㅋㅋㅋ 2
생명과학1 2025 수능기출문제집 항상성유지 파트 60문제 중에서 28개 틀린거...
-
미적 2컷 투표 0
.
-
화학하고 싶은데 아무리 생각해도 좀 에바인거 같아요 누나랑 엄마도 걍...
-
질의응답 과외가 들어왔는데 4주 기준 어느정도가 적당할까요?? 처음이라 감이...
-
더 쉽나? 어렵나?
-
샤인미 고난도 제외 걔네는 의욕 없어짐...
-
아...
-
2024 수능 후기 (1) https://orbi.kr/00067518779...
-
장장 6일을 0
N제 다포기하고 하루를 수완에 거의 투자했다. . 끝나니까 기분 좋네
-
3점 3점 2점 틀려도 1이 나오는 시험... 귀하다
-
고려대 학우 쓰겠다고 과탐에 남는게 현명한 걸까? 막상 이러다가 한양대 최저 3합...
-
진도나가면서 기출병행하는게 좋을까요
-
이야 신상 다 까발려지네 ㅋㅋㅋㅋ 세상 무서운걸 모르노
-
디엠이나 톡왔을 때 귀찮으면 걍 안 읽고 놨두지만 그게 상대가 싫어서 그러는 게...
-
문제가 참 쪼잔하게 나옴. 은근 재밋는 것도 있음. 시간안에 풀지말라고 만든 문제가 있음.
-
탐구가 제일 걱정입니다
Jo lipjiebup
조립제 법
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/020.png)
선추후감막줄은 저도 몰랐네요 ㅋㅋ
진지하게 조립제라는 중국의 수학자가 만든 방법인 줄 알았는데 찾아보니 재밌자고 하는 이야기였고... 조립제법, 종합제법, synthetic division 등으로 불리며 Paolo Ruffini라는 수학자가 만들었다고 하네요
+ 1. 곱셈공식, 인수분해공식은 결국 한 등식을 어떠한 방향으로 해석하느냐의 차이입니다. 등식을 배우게 되면 한 쪽에서 다른 한 쪽으로 넘어가는 것을 쌍방향 모두 원활하도록 익혀두시면 좋겠습니다.
2. 나머지 정리, 인수 정리는 결국 본질적으로 하나입니다. 본문의 f(x)=g(x)h(x)+i(x)가 나머지 정리 항등식이고 f(x)-i(x)=g(x)h(x) 꼴이 인수 정리 항등식이라 생각해두시면 좋겠습니다.
3. 수학(상), 수학(하)를 고등학교 1학년 내신 대비 목적으로 공부하는 경우 빠른 문제 풀이를 위한 다양한 접근법을 익히게 됩니다. 그런데 그런 것들 단순 암기하면 재미도 없고 수학적 사고력 향상에도 별 도움 되지 않는다 느꼈습니다. 따라서 문제 하나 하나 처음 풀 때에는 5분 이상씩 고민해보시며 어떠한 접근법이 도움이 될지 홀로 고민해보시기 바랍니다. 처음에는 문제 푸는 데에 오래 걸려 재미 없겠지만 그렇게 홀로 고민하는 능력을 길러가면 결국 대학수학능력시험을 대비하는 시기가 왔을 때는 물론 인생을 살아가며 문제 상황을 접했을 때 더욱 강력한 힘으로 대응하실 수 있을 거예요!
+ 고등학교 1학년 때는 쎈 C단계에 있을 법한 문항들 공부하면 고민해도 고민해도 어떻게 접근해야할지 모르겠어서 그냥 답지 보며 "이걸 어떻게 떠올리나..." 하고 넘겼었는데
고등학교 2, 3학년을 거쳐 수능에서 100점 받고 돌아와 다시 살펴보니 충분히 어려운 문항들이었다는 생각이 드네요 ㅋㅋㅋㅋ 수능 공부할 때 같은 문제 몇 시간 동안, 며칠 내내 고민하며 풀어가던 경험이 쌓여 이제서야 5년 전의 제게 도움을 주는 듯합니다.
영다항식 차수를 정의안했었나
-inf로 정의하기도 했던거같은데
저도 어디서 음의 무한대로 정의한다 봤던 것 같은데 구글 검색해보니 no degree로 나오길래 우선 차수 정의하지 않는다 작성했습니다
조립제법 특) 사람이름아님 ㅋㅋ
Paolo Ruffini 법 ㅠㅠ