복소수
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00066530516
1, 2, 3, ... 이러한 수들은 자연수(Natural number)입니다.
1보다 1만큼 작은 수는 0입니다.
0보다 1만큼 작은 수는 -1이며
-1보다 1만큼 작은 수는 -2입니다.
이렇게 ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... 와 같은 수들은
정수(Integer)입니다.
그리고 두 정수 p, q를 활용하여
꼴로 나타내어지는 수는 유리수(Rational number)입니다.
이때 6/3=2와 같이 약분 시 정수가 되면 그것은 정수,
5/3와 같이 약분이 되지 않으면 그것은 정수가 아닌 유리수로
분류하곤 합니다.
그리고 루트2와 같이 q/p 꼴로 표현할 수 없는 수는
무리수(Irrational number)입니다.
유리수와 무리수를 통틀어 실수(Real number)라고 부릅니다.
그리고 이 실수에 제곱해서 -1이 되는 허수 단위(Imaginary unit)를 곱해
얻는 수를 허수(Imaginary number)라고 부릅니다.
그리고 실수와 허수의 합으로 이루어진 수를
복소수(Complex number)라고 합니다.
일반적으로 이 이차방정식의 해는 존재하지 않습니다.
하지만 해가 존재한다 가정하고 그것을 i라 정합시다.
이것이 허수 단위의 정의입니다.
그럼 이와 같은 생각이 가능합니다.
그래서 i를 루트-1이라 하냐 -루트-1이라 하냐
이야기가 나올 수 있는데 어느 쪽으로 생각하든
i를 통한 연산에는 변화가 없습니다.
그래서 보통 i=루트-1로 편하게 생각합니다.
허수는 bi 꼴입니다.
복소수는 a+bi 꼴입니다.
이러한 복소수를 우리는 복소평면(Complex plane) 상에
나타낼 수 있습니다.
평소에 접하는 직교좌표계 (Cartesian coordinate) 에서
x축을 실수축, y축을 허수축이라 생각할 때
x좌표는 실수 부분 a를, y좌표는 허수 부분 b를 설정해
점 (3, 5)와 같이 나타내는 것입니다.
후에 수학1 (2022 개정 교육과정부터는 대수) 에서 삼각함수를 배우거나
미적분 (고등학교 교육과정 밖) 에서 극 좌표계 (Polar coordinate) 를
배우시면 익숙해지실테지만 우리는 평면 상의 어떠한 점을
기준점으로부터의 거리와, 기준점과 점을 이은 선분이 기준선으로부터
시계반대방향으로 얼마나 회전하였는지를 기준으로
나타낼 수도 있습니다.
이런 식으로요!
우선 여기까지만 알아봅시다.
어떤 복소수 z의 켤레복소수는 허수 부분의 부호만 반대로
해준 복소수입니다. 다항식의 연산 공부할 때
덧셈, 뺄셈은 동류항끼리 해주었듯이
복소수의 연산도 덧셈, 뺄셈은 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 해줍니다.
다항식의 연산 공부할 때 곱셈은 분배 법칙에 따라 해주었듯이
복소수의 연산도 곱셈은 분배 법칙에 따라 해줍니다.
(복소수에서도 교환, 결합, 분배법칙 성립합니다.)
무리수 배울 때 유리화 배웠듯이
복소수 배울 때도 유리화 합니다.
분모에 i가 보이면 합차 공식 적당히 집어넣어
보이지 않도록 해줍시다!
그리고 이러한 연산을 배우는데
"루트 안에 음수 있으면 i 활용해 빼준다"만 기억하시면 됩니다.
마찬가지로 "루트 안에 음수 있으면 i로 빼준다"만 기억하시면 됩니다.
이제 문제 두 개 풀어보겠습니다.
쎈 고등 수학(상) 1판6쇄 II-03 C단계 355번 변형입니다.
z_1, z_2는 복소수입니다.
따라서 a+bi 꼴로 나타내어 봅시다.
조건이 여러 가지 주어졌을 때는 하나씩 접근합니다.
먼저 A 조건부터 살펴보겠습니다.
미지수가 여러개일 때는 줄이는 것이 편합니다.
복잡한 세상 속 편하게 산다 생각하시면 됩니다.
따라서 A 조건으로부터는 다음의 정보들을 얻었습니다.
이제 B 조건을 살펴봅시다.
합차 공식으로 계산해주니 b=1입니다.
이때 a^2+b^2=4이므로 a=루트3 or a=-루트3입니다.
따라서 A, B 조건으로부터 다음의 정보를 얻었습니다.
이제 C 조건을 살펴봅시다.
a가 양수이므로 a=루트3임을 알 수 있습니다.
따라서 A, B, C 조건을 모두 고려하면 다음을 얻습니다.
이제 답을 내어줍시다!
답은 -4루트3 i 입니다.
다음 문제로 넘어가보도록 하겠습니다.
같은 문제집 361번 변형입니다.
뭔가 비슷한 것들끼리 있거나 거대한 것이 있을 때에는
치환해주면 좋습니다. 다양한 문자가 있지만 저는
정도의 대문자 X를 좋아합니다.
실제로 2022학년도 6월 미적분 30번을 현장에서 풀 때
alpha와 beta에 대해 정리해야할 식이 일치하기에
X로 치환하여 해결했던 기억이 있습니다.
그럼 다시 문제로 돌아와서...
함수 C(x)=1/x를 살펴볼 때 1이 방정식 C(x)=1의 유일한 해이므로
식을 한 번 정리해냈습니다.
다시 치환을 통해
식을 한 번 정리해내어줍니다.
이제 마지막입니다.
찐막~
따라서 방정식 C(B(A(A(x))))=1 의 해는 x=(1-루트3 i)/2임을
확인할 수 있었습니다.
p.s.
아까 직교좌표, 극좌표, 복소평면 등에 대한 이야기를 했었는데
r을 복소수의 absolute value 혹은 modulus라고 합니다.
대충 이런 느낌!
그리고 @를 복소수의 argument라고 합니다.
대충 이런 느낌입니다.
그리고 실수 x에 대한 항등식 Euler's formula도 알아두시면 좋습니다.
이를 이용하여
복소수를 위와 같이 표현해볼 수도 있습니다.
p.s.2
자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수에서 더 나아가
사원수(Quaternion)를 정의할 수 있습니다.
이렇게 생겼습니다. 1, i, j, k는 4차원 벡터공간의 기저 벡터입니다.
이라는데 저도 잘 모르겠습니다. 4차원 얘기 나오는 것으로 보아
사원수가 우리가 공부하는 수학에서 등장하진 않을 것이고
순수 수학(Pure mathematics) 쪽에서 쓰일 것임을
짐작해볼 수 있습니다. 실제로 그러한 것으로 알고 있습니다.
왠지 외적에서 등장하는, 3차원 공간의 단위 벡터 i, j, k와도
연관이 있어 보이는데 이는 저도 잘 모르겠으니
더 공부해서 오겠습니다!!
2022 개정 교육과정으로 고1 수학에 행렬이 들어왔으니
2028 개정 교육과정 정도에는 외적, 공간벡터, 입실론-델타 논법,
다변수함수의 미적분 (편미분, 중적분) 도 기대할 수 있지 않을까요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
블루클럽가서 커트데이트하실분
-
.
-
작년에 드릴4풀땐 걍 풀렸는데 5는 한문제 푸는데 15분넘어가고 그럼 머가 더 어렵나요
-
수학 공부 1
현재 수학 완전 노베이스인데 정승제 개때잡 듣을까요 이승효 상승효과로 컴팩트 하게 하는게 좋을까요?
-
4점차면 바로 언매런 한다
-
오히려 이러면 사탐런하는게 더 이득이 되겠네요 등급컷이랑 몇몇과목의 만표를 볼때...
-
성적표 9
우리만 받은거구나
-
합격자 95%가 사용하는 세특 작성하는 방법 대입과 합격에 관심이 높고 똑똑하신...
-
3d로 본다.
-
윗집에서 내 히카 뽀려감 박스 까고 봉투까지 다 뜯어놨네
-
내가 밉다
-
이적료는 40m 로든 10m 포함해서 사실상 30m
-
화2어렵다 4
시험전날에 시작하니 꽤나하드코어네요 a 되려나
-
수강후기 커뮤에 돌아다니는거 몇개봤는데(팩트인지 아닌지는 모르겠네요) 어려워서...
-
사탐런하려면 윤사가 꿀통이네 윤사 만표 이 썩겠다
-
태성? 본관? 혹시 어디에서 하시는지 아시는 분 계신가요..?
-
이제 반수 시작하는 반수러인데 이번에 6모 현대소설 고전소설 다 연계된건가요??...
-
만년 3뜨다가 6모때 개같이 4뜨고 영어 독해력자체를 늘리고싶은데 작년 알고리즘...
-
시즌2 난이도 많이 빡셈? 다 킬러급?
-
지금 김기현쌤 아이디어 다 들었고 회독도 몇 번 한 상태입니다 교육청은 높3 정도...
-
근육이 이완할 때 액틴 마이오신이 겹치는 부위가 아예 사라질 수 있는 건가요? 기말에 나와서요
-
생윤 생명을 같이봤네 왜지
-
기출을 고2때 내신한다고 몇번 보고 고3 올라오고부터 지금까지 시대컨 강사컨 풀면서...
-
오늘은 오랜만에 비문학 자작 세트로 돌아왔습니다 5번과 6번은 글의 내용과 대조하여...
-
올해는 그냥 교재 독학하면서 아리까리 한거,틀린 문제만 강의듣고 넘기려고 합니다...
-
시바 60문제중 28개틀린거면 그냥 다시 공부해야하냐? ㅋㅋㅋㅋㅋ 2
생명과학1 2025 수능기출문제집 항상성유지 파트 60문제 중에서 28개 틀린거...
-
미적 2컷 투표 0
.
-
화학하고 싶은데 아무리 생각해도 좀 에바인거 같아요 누나랑 엄마도 걍...
-
질의응답 과외가 들어왔는데 4주 기준 어느정도가 적당할까요?? 처음이라 감이...
-
더 쉽나? 어렵나?
-
샤인미 고난도 제외 걔네는 의욕 없어짐...
-
아...
-
2024 수능 후기 (1) https://orbi.kr/00067518779...
-
장장 6일을 0
N제 다포기하고 하루를 수완에 거의 투자했다. . 끝나니까 기분 좋네
-
3점 3점 2점 틀려도 1이 나오는 시험... 귀하다
-
고려대 학우 쓰겠다고 과탐에 남는게 현명한 걸까? 막상 이러다가 한양대 최저 3합...
-
진도나가면서 기출병행하는게 좋을까요
-
이야 신상 다 까발려지네 ㅋㅋㅋㅋ 세상 무서운걸 모르노
-
디엠이나 톡왔을 때 귀찮으면 걍 안 읽고 놨두지만 그게 상대가 싫어서 그러는 게...
-
문제가 참 쪼잔하게 나옴. 은근 재밋는 것도 있음. 시간안에 풀지말라고 만든 문제가 있음.
-
탐구가 제일 걱정입니다
-
아무튼 그럼
-
ㅇㅇ?
-
저녁 ㅇㅈ 20
올만에 만들어본 저녁
선샌님..어지러워요멋있어요
예비고1 과외 하게 되어서 수학(상) 복습 중에 있습니다,, 제곱근 연산 부분에 부호 오류 있어서 얼른 수정했네요! 시간이 늦었는데 좋은 밤 보내시기 바랍니다.
어우 샘 멋있어요 과외준비 아주 철저하시고 번창하십시오 ㅎㅎ