자작 모의고사 손풀이 파일

안녕하세요 몇 가지 질문 드리려고 하는데요
1. 14번 해설 그림에서 B랑 D가 바뀌었고 풀이를 보니까 AD=CD라고 보신 거 같은데 둘이 같을 수가 없습니다
2.19번에서 g(5) 값이 8만 2번 나오는데 이러면 그냥 g(5) 값을 물어야지 둘을 더하면 안 됩니다 16이라 하면 안 돼요
3. 25번에서 A가 (a,a/2),(a,2a)라 하셨는데 이 두 점과 (0,0)을 이은 선분 위의 무수한 점들이 다 저 조건을 만족하는 거 아닌가요? 두 점이라 하면 안 된다고 생각합니다
4.27번에서 f=a(x-2)(x-4)라 하셨는데 이거로 g(x) 적분하면 조건을 만족하지 않습니다
f=a(x^2-7x+14)가 나와야 해요 피드백 부탁드립니다

답변드립니다.

1. 14번 자체 문제 오류 맞습니다. 선분 AD와 CD가 같다는 조건을 추가해야 합니다.
그림은 그냥 잘못 그렸습니다.
2. g(5)의 값이 하나로 정해지기는 하지만, 함수 g(x)는 두 개가 나오고 그 범위도 다릅니다.
두 경우의 함수를 모두 찾을 수 있는 능력을 묻는 문제니 답에 너무 치중하지 않으셨음
합니다.
3. 같은 x좌표에 존재하는 두 점이므로 임의의 두 점이라고 생각하시고 풀면 전혀 문제가
없습니다. 하지만 그 점이 무수히 많으므로 '두 점'이라고 지정한 말은 문제가 있습니다.
4. 아무리 생각해봐도 왜 f(x)=a(x^2-7x+14)인지 모르겠는데 설명 가능하실까요?

오류 찾아주셔서 감사드립니다.

25번에 두 점이 같은 x좌표여야 하는 이유가 있나요?
27은 합성함수 미분하면 g'(k)=2f(2k)-f(k)입니다
그러면 g'(k)는 이차함수고 1과 2에서 부호가 바뀌니 2f(2)=f(1),2f(4)=f(2)입니다
정리하면 f가 저렇게 나옵니다

답변드립니다.

25번 문항에는 점 A가 직선 x=a 위에 있다는 정보를 추가하겠습니다.

27번 문항에 대해서는 오랫동안 고민을 해봤습니다.
피드백을 남겨주신 분의 의견은 한 함수 f(x)를 미분한 함수가 0이 되는 x값이 함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 갖는 위치임을 말하시는 듯 합니다. 아래는 저의 생각입니다.

한 다항함수를 f(x), f(x)를 미분한 함수를 g(x)라고 가정해보겠습니다.
그렇다면 아래 첫 번째 그림과 같이 나타낼 수 있을 것입니다. 그렇다면 첫 번째 그림의
식은 G(x)-G(a)로 나타내어도 상관이 없을 것이고 그 식을 미분했을 때 상수항인 G(a)가 사라지며 g(x)가 됩니다. 즉, f(x)는 g(x)를 적분한 식을 y축 방향으로 평행이동시키는 것 뿐이고 그 이외에는 그래프 모양에 전혀 영향이 없습니다. 그래서 f(x)를 미분하여 0이 되는 지점에서 극댓값과 극솟값을 갖는다 하여도 문제가 없습니다.
하지만 27번 문항 같은 경우에는 g(k)=F(2k)-F(k)이고 상수항이 존재하지 않습니다. 즉 g(k)는 단순히 f(x)를 적분하여 y축 방향으로 평행이동시킨 것이 아니라, x축으로도 평행이동이 가능합니다. 그래서 g(k)를 단순히 미분하여 0이 되는 지점이 극대 극소라고 생각하는 것은 오류가 있다고 생각합니다. 적분을 그래프의 넓이 구하는 방법으로 생각해보시는 것도 괜찮을 것 같습니다.
비슷한 문항으로 23학년도 고3 6월 모의고사 20번 문항이 있습니다.

g는 미분가능한 함수이므로 첨점이 생기지 않고 문제에서 g의 증감을 줬다는 건 g'의 부호를 줬다는 거고 g'의 부호가 바뀌는 곳은 g'=0을 만족한다는 것입니다
미분가능한 함수의 증감이 바뀐다는 건 도함수 부호가 바뀐다는 거죠
그래서 g를 미분해서 0되는 곳이 극대 극소다 하는 건 별 오류가 없습니다
실제로 저 f로 g 만들면 조건을 만족하잖아요?

그냥 저 조건을 만족시키는 함수가 너무 많은 듯 합니다. 문제 다시 만들겠습니다.