Convergence of the limit set
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00068668056
Proposition. Let $\Gamma_i$ be a sequence of isomorphic quasi-Fuchisan groups which converge geometrically to a group $\Gamma_G$. (In modern terms, $\Gamma_i$ is an element of $AH(\pi_1(S))$ for some surface $S$) Suppose that there is a $\delta>0$ such that the limit set $\Lambda(\Gamma_i)$ is not contained in a disk of radius $\delta$ on $S^2$. Then $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma_G)$ in a Hausdorff topology of $\hat{\Bbb C}$.
여기서 $\Gamma_i$들이 서로서로 isomorphic하다는 것을 빼면 반례가 존재하는데, Kleinian group의 residual finiteness에 의해서, 임의의 Kleinian group $\Gamma_0$가 있으면, $\Gamma_0>\Gamma_1>\Gamma_2\cdots$ 가 되는 sequence of finite indexed subgroup 이 존재하고, 이 sequence의 geometric limit은 trivial group이 된다.
만약 quasi-Fuchsian group들 $\Gamma_i$가 algebraically convergent 하면, limit group도 non-elementary하기 때문에, 가정인 $\Lambda(\Gamma_i)$가 어떤 $\delta$-disk in $S^2$에 들어가지 않는다는 가정을 만족한다. 따라서, algebrically convergent하는 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$들에 대해서, $\Gamma_i\to G$가 geometrically convergent 하다면, $\Lambda(\Gamma_i)\to\Lambda(\Gamma)$ in Hausdorff topology가 된다.
Proof of proposition. 증명에 아주 crucial하게 적용되는 내용이 있는데 그걸 먼저 서술하겠다.
$$K_{\Gamma} = \{x\in\Bbb H^3\mid d(x,\gamma x)<K,\text{ for some nontrivial }\gamma\in\Gamma\}$$
여기서 $d$는 hyperbolic metric이라고 한다면, 어떤 constant $K$가 존재해서, 모든 quasi-Fuchsian groups isomorphic to $\Gamma$에 대해서, convex hull of the limit set $H_{\Gamma}$ (Nielsen convex region 이라고도 한다) 는 항상 $K_{\Gamma}$에 들어가 있다. 다시 말해서, convex core $H_{\Gamma}/\Gamma$는 embedded hyperbolic ball of radius $>K$를 갖지 않는다는 것. (In particular, 만약 주어진 sequence가 있을 때 (quasi-Fuchsian이 아니어도 됨), 그 sequence의 convex core의 injectivity radius에 uniform upper bound가 존재한다면, 우리는 이 증명을 그 sequence에 그대로 적용할 수 있다.)
$\epsilon>0$이 주어졌다고 하자. 주어진 quasi-Fuchsian group과 isomorphic한 $\Gamma$를 적당히 conjugate을 해서, $H_{\Gamma}$가 $\Bbb H^3$의 origin을 포함하도록 설정한다. 그러면, 임의의 $x\in\Lambda(\Gamma)$에 대해서, 어떤 $y\in H_{\Gamma}$가 있어서, $d_E(x,y)<\epsilon$이 되도록 고를 수 있다. 여기서 $d_E$는 $\Bbb H^3\cup S^2$ 에서의 Euclidean metric을 의미한다. 그러면, $H_{\Gamma}\subset K_{\Gamma}$에 의해서, $\epsilon$을 필요하다면 더 작게 잡아서, 어떤 nontrivial element $\gamma\in\Gamma$가 존재해서, $d(y,\gamma y)<K$가 되고, 따라서 $d_E(x,\gamma y)<\epsilon$을 만족하도록 잡을 수 있다. 그 이유는 Euclidean metric과 hyperbolic metric의 차이에 의해서 나타난다. 만약 $y$가 충분히 $S^2$에 가까이 가면, hyperbolic metric의 움직임은 Euclidean metric의 관점에서는 움직임이 거의 없기 때문. 더 중요한 것은, 우리는 저러한 $\gamma$의 norm을 그냥 Lie group norm $\mathrm{PSL}_2\Bbb C\subset\Bbb C^4$에서 주어진 $\epsilon$에 대해서 bound를 할 수 있다. 그 이유는, $y$에서 원점 $O$와의 hyperbolic distance는 bounded 되어 있고 origin이 $\gamma$에 의해서 움직이는 것은, $y$가 $\gamma$에 의해서 움직이는 것과 $y$와 $O$사이의 거리에 대한 연속 함수로 표현할 수 있기 때문이다. 원점 $O$가 움직이는 거리를 bound시키는 것은 $\gamma$의 norm을 bound 시키는데, 그 이유는 $O$의 isotropy subgroup은 compact이기 때문.
저러한 estimate은 처음 $K_\Gamma$의 성질만 썼기 때문에, 모든 $\Gamma$와 isomorphic한 quasi-Fuchsian group $\Gamma_i$ s.t. $O\in H_{\Gamma_i}$에 대해서 성립한다. $\Lambda_{\Gamma_i}$ 들이 $\delta$-disk 안에 포함되어있지 않는다는 가정에 의해서, 우리는 $O\in H_{\Gamma_i}$의 estimate의 가정을 만족시키기 위해 conjugate하는 element들의 norm이 uniformly bounded 되어 있다는 것을 알 수 있다. 따라서, 주어진 $\Gamma_i$ sequence에 대해서, $O\in H_{\Gamma_i}$를 모든 $i$에 대해서 만족 시키면서, 위의 estimate이 $\Gamma_i$ 들에게 uniform하게 적용된다고 가정할 수 있다.
Fix된 $\epsilon>0$에 대해서, 만약 $x_j\in\Lambda(\Gamma_{i_j})$가 $x_j\to x$가 된다고 한다면, $x\in\Lambda(\Gamma)$를 보여야 한다. 이 경우에는 위의 uniform estimate에 의해서, $\{y_j\}\in H_{\Gamma_{i_j}}$, $\{\gamma_j\}\in\Gamma_{i_j}$가 존재해서 $d_E(x_j,y_j)<\epsilon, d_E(x_j,\gamma_jy_j)<\epsilon$ such that $\gamma_j$의 norm이 bounded 되는 것을 가정할 수 있다. $\gamma_j$들의 norm이 bounded 되어 있기 때문에, $\gamma_j$는 어떤 nontrivial element $\gamma$로 convergent 하는 subsequence를 잡을 수 있다. Geometric convergence의 정의에 의해서, $\gamma\in\Gamma$다. 만약 $y$가 $y_j$의 accumulation point라고 하면, $d_E(x,y)\leq\epsilon, d_E(x,\gamma y)\leq\epsilon$이 되고, $\epsilon$은 arbitrary했기 때문에 $\Gamma$는 $x$에서 discontinuous action을 주지 않는다. 따라서 $x\in\Lambda(\Gamma)$.
만약 $x\in\Lambda(\Gamma)$라면 우리는 $x$로 converge하는 sequence $\{x_i\}\in\Lambda(\Gamma_i)$를 찾아야 한다. Kleinian group의 element들의 fixed point들의 limit set에서의 density에 의해서, $\gamma_j\in\Gamma$가 존재해서, $\gamma_j$의 fixed point $x_j$가 $x$로 convergent 하게 할 수 있다. 근데 $\Gamma$는 $\Gamma_i$의 geometric limit이기 때문에 각각의 fixed $j$에 대해서, $\gamma_j$로 converge 하는 $\{\gamma_{j_i}\in\Gamma_i$가 존재한다. 각각의 fixed된 $j$에 대해서, $\gamma_{j_i}$의 fixed point $x_{j_i}$가 $x_j$와 떨어진 거리가 $\leq 1/j$ for all large $j>I_j$를 잡을 수 있다. $I_j>I_{j-1}$이 되도록 설정을 하면, $\{x_i\} = \{x_{j_i}\}$, $I_{j+1}\leq i\leq I_j$ 가 원하는 sequence가 된다. $\square$
Rmk. 가정에서의 $\delta$-disk 가정도 중요하지만 그 보다 주어진 sequence의 injectivity radius의 uniform upper bound가 더 중요하다. 그리고 증명에 나온 element들의 norm의 boundedness를 이용해서 uniform estimate을 이용하는 논증은 중요한 정리들을 증명하는데 꽤나 많이 나오는 논증법이다. (e.g. Mumford compactedness theorem)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
고1 내신 2점 중반대 학생입니다 모고 등급도 내신이랑 비슷하고요 현재 학교에서...
-
조금 늦은거 뿐이었어
-
알려주긴했는데 팔로우 안받아줌. 낼부터 스카 옮겨야하냐...?
-
잘자용 6
-
수능때까지 기출(년도별로 되어있는 문제집으로 3개년) 엔티켓 수1수2미적 피지컬...
-
잊었니 7
너와 나 사랑했던 날 모두
-
겸양 문제 헷갈리더라 선지가 딱 2개 남았는데 ㅈㄴ 고민함 그래도 할매턴 잊잊잊보다는 할만했었음
-
기습 ㅇㅈ 1
ㅁ
-
근데 올해는 영어2여도 연대 절대 못쓴다 이정도는 아니지않을까 10
아물론 사탐기준임 연세대 영어반영비도 16.7>12.5됐고 거기에 사탐가산까지...
-
집주소... 뭐 보내주는 것도 아니라는데 이건 도대체 왜 필요한건지 설명 가능한 사람 잇나요
-
다했다 0
힘드러
-
이제 주식 안하고 묵혀놔야지 계획은 완벽해
-
이게 맞나... 0
-
“아ㅋㅋ 이거 다른 사람들은 캐치 못했겠네” ...라고 생각하면 그게 답이다
-
(lnx)^2/x 의 극한은 발산하나요 수렴하나요 14
lnx와 x만 비교하면 0으로 수렴하는 걸로 아는데 (lnx)^2은 어떻게 되나요??
-
재수하면서 한번도 긴장하거나 두렵거나한적 없는데 (공부못하는데 걍 성격이 이럼)...
-
9모 성적표 ㅇㅈ 11
그런건없어
-
2506 2509 중에서
-
찰리푸스 테일러스위프트 벤슨본
-
1일 1실모 or 2일 1실모 하고있는데 중간중간 끼워서 같이 풀 만한 수학N제...
-
서울대 가고싶다
-
22~23수능때 헤겔, 브레턴우즈, 비타민K, 클라이버 이런 애들은 지문을 하나하나...
-
읽어보실 분 계신가요? 2022-24 물리학1 만점이고 문제 푸는 데 이용되는...
-
작년 글들 쭉 보는데 10
결과적으로 성공한사람들은 뭔가 다름 설뱃을 달고있어도 뭔가 좀 제대로 안하고있는것...
-
자러갈게요 다들 굿나잇 12
낼봐요
-
아무거나 질문받음 11
다가능
-
해설다듣고있기 시간아까움
-
오르비아니였음 재수안해서 하위지거국이나 갔을건데 오르비해서 학교 많이 올리긴 했는데 만족이 안됨
-
쉽지않네요...
-
내년 선택과목 9
언매 미적 물2 생2 물생의 꿈을 이루러 가는거야
-
라군써야댐
-
아 먹고 싶다
-
결국 사옴 15
술
-
가래 계속 끼네 4
아오 목 아파
-
. 2
굿나잇
-
맞팔할 사람! 5
-
를 허락해 주시옵소서
-
난 연구가 하고 싶었단 말이야 의대만 보내줘
-
추천글 올라가고 싶은데 방법 없을까요?
-
알아?
-
붓, 먹 등은 상고한어 筆/*p.[r]ut/, 墨/*C.mˤək/ 등에서 온 말로...
-
파랑은 수학
-
힘드네
-
또 세 시간 자겠네
-
다들 남이 글 써주길 기다리기만 하고말이야
-
이세계가고싶다 1
어느날갑자기이세계용사로소환돼서치트능력얻고현대지식으로깽판치면서하렘을찍고싶다
-
이대로는 오르비에서 헤어나올 수 없어져버렷♡
-
재릅닉 2개정도 생각중 뉴비행세하고 다닐래요
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.