미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
많이함?
-
그림 한 편임 ㄷㄷ
-
몇프로임?
-
그래프풀이로는gx가연속이라는걸보장할수없습니다즉식풀이를하여야하는데이때근의송식을사용합니다...
-
시발점하면서 수분감을 할까 아님 워크북을 할까 시발점이랑 뉴런 수분감은 무조건...
-
일주일도 안돼서 4kg뺌
-
근데 CHUNG-ANG CENTRAL LIBRARY 면 중앙중앙도서관임? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
키빼몸 103 16
-
왜 130 같은 이상한 숫자들이 나오는거죠
-
내 골격근량이 궁금해짐
-
'김일성 주체사상' 퍼트려 법정 선 노동자들…13년 만에 무죄 6
사회주의 혁명론·주한미군 철수 등 담긴 문서 소지·반포해 재판부 "북한 노선 추종...
-
애매한 선지같은게 많은건가요? 감이 안오네요..
-
대충 이럼뇨 6
많이 뽀글하지는않아
-
수능 한 50%만 깔고 영어영문학과는 토익 토플 아이엘츠 이런거 반영하고 수학과는...
-
누가봐도 우선순위가 높아야하는 학교의 우선순위를 더 낮게 둔 경우에는 추합으로 빠질...
-
이런거 없나요??
-
근데 키빼몸이 9
키빼몸이 음수인 사람 실존하긴함?
-
발닿나여 타보신분 1종 딸라 하는데 156임
-
김승리 유대종 3
현재 상태 유대종 인셉션 독해 완강 유대종 인셉션 문학 개념어 완강 독서, 문학...
-
저도 미소녀임 6
그런 줄 알면댐
-
172 59 7
댇지 ㅠㅠㅠㅠ
-
ㅇㅇ…..
-
키 12cm 4키로그람이라는거임
-
여기 강남대성 쌤들도 많이 계시던데 독학재수할지 재종다닐지 고민되네요.
-
는 안되는점순가요?
-
대학가신분들 사진속 외모에 키 181이면 단과대학에서 어느정도? 5
사진속 외모에 키 181이면 단과대학 남학생 10명중 몇등임?
-
제 꿈이 30대쯤에 한달에 세후 300-400정도(현재기준)벌면서 지방에서...
-
경희대 프랑스어과 2023년 추합 3명에서 2024년 추합 11명으로확 늘었던데...
-
키빼몸 125. 5
-
이 정도면 ㄱㅊ? 오티가면 인기만점이겠지?
-
비행기탑승모드를 켜요
-
이과는 과가 중요하다고 생각해서 인하대 자전 가서 전전 갈 생각이었는데 부모님이...
-
키빼몸 94 3
댖지임?
-
킥복싱베이스로 함 가볼까
-
이거 무슨뜻이야
-
키빼몸 115 12
원래는 120이었는데 살찜
-
새터 0
다들 새터 곧 가는구나 쌩재수생은 운다 내년에 보자
-
다른 학교 컷을 모르니까 뭘 할 수가 없네 점공 개수 제한좀 풀어주면 안 되나ㅠ
-
-
놀랍게도 미로임 1
ㅈㄱㄴ
-
바꾸지말고 그냥 대학 ot때 나는 특혜받고 입학한 화교입니다 행진시키고 화교 인증...
-
176에 49 26
내가 04였다면 공익이였을텐데 05부터 기준이 빡세져서...
-
이게 뭐 때문이지?
-
1보 철교안 항교안 따고가셈 운항관제 or 항공운수 둘중 하나는 무조건 가능 어지간하면 꿀빨수있음
-
화장실에 서있을 때 시야가 먼가 달라짐
-
180 80임 11
사실 179.9정도 되는데 걍 180 하겟음
-
수능공부가물려버렸다는거야… 열심히하면 찍먹은 해볼수있을거같은디…
-
덕코좀 주실분? 4
맨입으로 달라하기
-
제가 수2를 아예 몰라서 수능 19번까지 25분컷은 절대 못해요ㅠㅠ 이번 겨울방학...
-
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=