Chern-Simons invariant in hyperbolic 3-manifold
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/00068864906
Definition (Chern-Simons 3-form). Let $\pi:P\to M$ be a smooth principal $G$-bundle. Suppose we are given an $\mathrm{Ad}$-invariant symmetric bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal{g}\times\mathcal{g}\to\Bbb C$. (i.e. $\langle\mathrm{Ad}_ga,\mathrm{Ad}_gb\rangle = \langle a,b\rangle$) The Chern-Simons 3-form $\alpha$ of a connection $\omega\in\Omega^1(P,\mathcal{g})$ is
$$\alpha(\omega) = \langle\omega\wedge\Omega\rangle - {1\over 6}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle = \langle\omega\wedge d\omega\rangle +{1\over 3}\langle\omega\wedge[\omega\wedge\omega]\rangle\in\Omega^3(P,\Bbb C).$$
In particular, if $M$ is a compact oriented smooth 3-manifold with or without boundary, and if there exists a smooth section $\sigma:M\to P$, the Chern-Simons invariant is
$$\mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma) = \int_M\sigma^*\alpha(\omega)\in\Bbb C.$$
물론 여기서 Chern-Simons 3-form의 각각의 항에 대한 설명이 필요하다. 보통 $\mathcal{g}$-valued form의 wedge product는 다음과 같이 정의한다: 만약 $\alpha = \alpha^iE_i$, $\beta = \beta^jE_j$, 여기서 $E_i$는 $\mathcal{g}$의 basis를 뜻한다. 그러면 각각의 $\alpha^i$와 $\beta^j$는 differential form들이고, 따라서 wedge product가 이미 정의가 되어 있다. 따라서,
$$[\alpha\wedge\beta] = \alpha^i\wedge\beta^j [E_i,E_j]$$
로 정의를 한다. 다시 말해서, coefficient들의 wedge sum을 하고 basis들의 Lie bracket을 이용해서 정의한다.
따라서, Chern-Simons 3-form에서 각 항들은 wedge product의 coefficient들에 주어진 bilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$을 적용해서 정의하는 것이다.
만약 $G$가 Lie group이라고 한다면, $\langle\cdot,\cdot\rangle$은 $\Bbb R$-valued로 보통 다음을 사용한다:
$$\langle a,b\rangle = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(ab).$$
예를 들어, oriented Riemannian manifold $M$이 있을 때, frame bundle $FM\to M$을 항상 associate할 수 있는데, 만약 $\nabla$가 Levi-Civita connection이라고 한다면, Chern-Simons 3-form of $\Delta$는
$$\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\omega\wedge\Omega - {1\over 3}\omega\wedge\omega\wedge\omega) \in\Omega^3(FM,\Bbb R)$$
가 된다. 참고로 위의 $\mathcal{g}$-valued form으로의 대응은 다음의 대응 관계로 다시 볼 수 있다:
$$\{\text{metric connection }\nabla\text{ on }TM\to M\}\leftrightarrow\{\text{principal }SO(n)-\text{connections }\omega\text{ on }FM\to M\}$$
* 참고로 Principal $G$-bundle에서의 connection 1-form은 원래 connection 1-form과 좀 다르게 정의하는데, 원래 connection 1-form은 local하게 밖에 정의가 되지 않는데, principal bundle의 경우에는 global하게 정의할 수 있다.
$\omega\in\Omega^1(P,g)$가 connection 1-form이라는 것은, (1) $\omega_p(\underline{X}_p) = X$ for any $X\in\mathcal{g}$ and $p\in P$, (2) $r_g^*\omega = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega$ 인 경우를 말한다. 여기서 $\underline{X}_p$는 소위 fundamental vector field라고 불리는 것인데,
$$\underline{X}_p = d/dt|_{t = 0} p\cdot e^{tX}\in T_pP$$
로 정의한다.
$\omega_p$는 canonical 한 choice가 있는데, 만약 $v:T_pP = V_p\oplus H_p\to V_p$가 vertical component로의 projection이라고 한다면, $V_p$는 $\mathcal{g}$와 $G\to P, g\mapsto p\cdot g$의 tangent map에 의해서 identify할 수 있고, 따라서 $\omega_p = v:T_pP\to\mathcal{g}$로 정의할 수 있다.
참고로 이러한 connection 1-form이 principal bundle에 정해져 있으면, 1-form의 kernel로 horizontal distribution을 잘 정의할 수 있다.
왜 이런식으로 Chern-Simons 3-form을 정의했는지 의문이 될 수 있는데, 한 가지 계산을 통해서 알 수 있는 것은
$d\alpha(\omega) = \langle\Omega\wedge\Omega\rangle$이 된다는 것. $\nabla$에 대해서는
$d\alpha(\nabla) = -{1\over 8\pi^2}\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)$가 된다. $[\mathrm{tr}(\Omega\wedge\Omega)]\in H^{4}(M)$가 Pontryagin class인 것을 상기해보면, Levi-Civita connection의 Chern-Simons 3-form은 Pontryagin class의 potential로 정의된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 홀수 $p=2n-1$에 대해서 Chern-Simons $p$-form은 $[\mathrm{tr}(\Omega)^{2n}]\in H^{4n}(M)$의 potential, 다시 말해서 $d\alpha_{2n-1} = c_n\mathrm{tr}(\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega)$인 $p$-form on $M$을 말한다. 여기서 $c_n$은 그냥 아무 constant나 잡아도 된다.
정의를 보면, Chern-Simons invariant는 global section에 depend가 된다. 우리는 적절히 mod를 해서 Chern-Simons invariant를 global section에 depend하지 않도록 하고 싶다. 이걸 위해서는 global section에 얼마나 CS-invariant가 변하는지 알아야 한다.
이러한 dependence를 반영하는 공식이 있는데, $\varphi:P\to P$를 smooth fiber bundle isomorphism이라고 하고 $g_{\varphi}:P\to G$를 $\varphi(p) = p\cdot g_{\varphi}(p)$로 정의하자. (앞에 나온 $p$에서의 fiber와 $G$와 identify를 하는 map이다.)
Proposition. Let $\varphi:P\to P$ be a bundle isomorphism. Let $g = g_{\varphi}\circ\sigma$.
$$\varphi^*\alpha(\omega) = \alpha(\omega) + d\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}_{\varphi}}\omega\wedge g^*_{\varphi}\mu\rangle - {1\over 6}g^*_{\varphi}\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
In particular,
$$\mathrm{CS}_G(M,\varphi^*\omega,\sigma) = \mathrm{CS}_{G}(M,\omega,\varphi\circ\sigma) = \mathrm{CS}_G(M,\omega,\sigma)+\int_{\partial M}\langle\mathrm{Ad}_{g^{-1}}\omega\wedge g^*\mu\rangle - {1\over 6}\int_M g^*\langle\mu\wedge[\mu\wedge\mu]\rangle.$$
$G = SO(3)$인 경우에는, 가장 마지막 term은 $2\Bbb Z$라는 것이 알려져 있다. 따라서, $\bmod{\Bbb Z}$에서는 $\mathrm{CS}_{SO(3)}(M)$은 $\Bbb R/2\Bbb Z$에서 잘 정의 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
또 메인갔네 0
요즘난이도로 n수 하위권 전전하는 사례는 흔하다..
-
접수자 48000 응시자 42000~43000 예상
-
메가스터디: 9모 미적사탐 지난해 4.1%에서 올해 11.6%로 늘어 4
메가스터디교육 풀서비스 이용자 중 수리 미적분 선택자의 탐구영역 선택 과목 조합을...
-
그건바로나
-
의료수가 조절 힘들고 싫으면 세금을 올리면 그만 아님? 특정과 특정소득 이상이면 증세를 진행시켜
-
9월 4일에 시행된 25학년도 9월 모의평가 수학의 난이도는 작년 수능, 올해...
-
서울이랑 수원이 랜덤이면 우짬.. 동국대가 위험해..
-
특히 국수
-
오랄 0
오랄-비
-
설대 의류 연대 의류환경 고대 신소재 성대 공학계열 이대 화공신소재 시립대 신소재...
-
오피셜?)올해 수능 N수생 전년대비 2천42명 증가 6
http://www.weeklytoday.com/news/articleView.htm...
-
모의고사 세트 샀더니 키링이 딸려오네 아이돌 굿즈라도 산줄
-
배고프면 집중 안돼서 밥을 먹고 있긴 한데 뭘 먹어도 맛이없네열 요즘 밥을 먿는게...
-
의대 죽이는 방법 여러가지 아님? 더 있는거 알려주세요
-
역함수 존재할려면 원함수 도함수에서 0이 되는 곳이 없어야 하는 거 아닌가요?
-
안녕하세요, 수시 원서 접수 중 고민이 생겨서 올립니다 현재 수시 카드는...
-
고통스럽지만 4
고통스럽지만고통을가보자
-
현재상황 2
원끼야아아아아아아악 왜 엠바고임 그정도로 심각한거임????
-
공부 한 과목이랑 안 한 과목이랑 등수괴리가 ㅈ나 큼 ㅋㅋ 좀만 더 챙길걸 후회 ㅈ나 된다
-
제발제발제발제발
-
그중 5개는 최저 3합5
-
6논술 어디쓰지 0
추천좀 3합3빼고는 자신있다 그래도 논술 2년만에쓴다 논술공부를 해본적은 없긴한데...
-
저 9모 화작 20분 걸렸는데 이게 점수 망한 원인인 거 같아요...
-
생기부 온라인 자동 제출 동의 눌렀으면 따로 생기부 제출 안 해도 되는 거죠?
-
틀딱들 이야기가 될 날이 온건가 이제 진짜 안나올거 같네
-
왜지??
-
소금 or 와사비랑 먹으면 goat
-
영어 실모 질문 3
영어 풀모의고사 중에 강사색 많이 없고 적당히 어려운 실모 추천 좀 해주세요.
-
"북한 풍선 기폭장치 추정 물체 나왔다"...김포공항 인근 공장 화재 현장 '발칵' 3
김포국제공항 인근 화재 발생 공장에서 북한 오물 풍선의 기폭장치로 보이는 물체가...
-
기하 원점수 88 실수실수 개실수해서 21틀려먹은 거 실화냐 1일 1실모 최대 단점...
-
솔직히 생명은 막전위랑 근육은 괜찮은데 유전을 너무 못해서 3을 목표로 하는게...
-
보통 이렇게가 레베루가 비슷한가요?
-
인서울 어디 라인부터 확기 못하면 떨어질 확률 높아지나요?
-
수시 카드 6장 테이블에 올려뒀다
-
쪽지로 수학 5->3 어떻게 했냐고 질문주셔서 답드리려고 하는데 쪽지는 사진 첨부가...
-
수시공부해야지~ 11
-
6모 22111 9모 11111 짜피 수능 때 박을 거 같아서 걍 외대나 시립대...
-
탐구 결정해따 4
내일부터 내년 6모까지 생2 지1로 생2 하루 3시간씩 6모 결과 미적 1컷 /...
-
안나온다고 봐도 무방한가요?
-
확기를 못해서 수논 6장을 못쓴다는 슬픈이야기가 있다. 4
나는 그이야기를 무척 싫어한다
-
나같은 논술경험없는 범부에겐 에바겟지
-
리미트 완강 했는데 이 다음 남은 시간에 뭘 하는게 제일 효율적일까요?? 9모는...
-
적백 딱 한번만뜨면 성불할수있는데.ㅜㅜ
-
제가 만년 3등급에 30번대를 무자비하게 틀리는데 기출 제대로 푼적 없어서 자이...
-
전 국수영사탐 3:4:1:2:2
-
ㅈㄴ떨리네여 지금 쓰는게 1.심리적안정을 위한 공대 2.최저도 괜찮고 내신도...
-
나는 미적분 2024 만점 이번 9모 92(“ 6모는 학교 다녀서 못봄 “) 인...
-
뭔가요..?30번까지 다맞췃는데 유일하게 틀린 26번 은동전 앞나올 확률이 5...
-
88화인데 고3 6모가 배경임.. 등장인물 둘다 고3 근데 저 성적표는 교육청...
야해오