확률의 뜻과 활용

교과서를 읽어봅시다!

확률은 그 개념과 용어에 대한 이해가 굉장히 중요한 단원 중 하나에요. 가장 필수적인 개념들인 시행, 표본공간, 근원사건 부터 살펴봅시다. 

예를 들어 20페이지의 책에서 무작위로 한 장을 뜯어서 페이지를 확인하는 실험도 하나의 시행이라고 볼 수 있겠죠. 물론 이런 책이 반복할 수 있을만큼 많아야 하고 "무작위"라는게 조금은 중요한 키워드가 되겠군요.

위의 시행에서는 1페이지부터 20페이지까지, 총 20개의 "결과"가 가능합니다. 이 모든 결과를 포함하는 집합을 표본공간, 표본공간의 부분집합을 사건, 표본공간의 각 원소이자 한 개의 원소로 이루어진 사건을 근원사건이라고 하죠. (근원사건도 사건이니 사실 원소보다는 집합으로 보는게 맞겠네요. 하나의 원소로 이루어진 집합) 

이걸 좀 있어보이게 나타낸다면 표본공간은 S={1,2,3...20} 이고 페이지가 짝수인 사건은 A={2,4,6,...,20}, 근원사건은 {1}, {4} 등등이 되겠군요!

경우의 수 역시 마찬가지이지만 확률도 정의가 "집합"을 기반으로 됩니다. 확률을 잘 하려면 확률을 어느정도 집합으로 바꾸는 능력도 필요하다고 생각해요.

사건을 "집합"으로 바라보고 그에 대한 용어를 정의합니다. 배반사건과 여사건처럼요.

여기서 알 수 있는 것 중 하나는 만약 A와 B가 배반사건이라면 B는 A의 여집합의 부분집합입니다. 마찬가지로 A는 B의 여집합의 부분집합이구요.

드디어 확률을 정의합니다! 눈여겨볼 부분은 "각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같다"에요. 사건은 근원사건들로 이루어집니다. 어떤 사건의 원소의 개수는 정확하게 그 사건에 해당하는 근원사건의 개수죠. 각 근원사건의 확률을 1/n으로 둔다면, 표본공간과 사건이라는 두 집합에 포함되는 원소가 1개인 집합의 개수, 즉 각 집합의 원소의 개수에 대한 비율이 수학적 확률이라는 것을 알 수 있죠.

가장 논란이 많이 되는 이야기 중 하나죠. 1,1,2,3에서 3개의 수를 뽑았을 때 1이 2개 뽑힐 확률이요.

표본공간의 원소의 개수는 4C3입니다. 이를 분모에 두시겠죠. 그러면 여기서 근원사건은 {112},{113},{123},{123}의 4개가 되는겁니다. 마지막 2개의 근원사건이 "다른거에요."

즉 여기서 원하는 확률은 1/2가 되는거죠.

근원사건을 어떻게 두느냐도 이슈가 됩니다. 가장 중요한 것은 "분자와 분모의 연산이 동일해야 합니다." 분자는 조합으로, 분모는 순열로 뽑으면 큰일나죠. 근원사건을 조합으로 둘 것인가, 순열로 둘 것인가는 가장 먼저 고려해야 할 이야기에요.

통계적 확률은 건너뛸게요 알아서 찾아보세요 ㅎ

다들 아시죠? 너무 당연한 이야기에요.

문제를 푸시다보면 분자에 들어갈 사건을 2개 또는 3개로 찢어야 하는 경우가 있습니다. 이때 두 사건을 "되도록 배반사건으로 찢을 수 있다면 편하겠죠?"

팁 중 하나는 P(A) + P(A^c & B)로 찢는 것입니다. (&을 교집합이라고 하죠.)

마지막 내용은 여사건의 확률입니다. 식으로 유도도 한번 해보세요

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