[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/0004324086
개념을
통해 무엇을 배워야 할까?
안녕하세요, '수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다.
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 다뤄보고자
합니다.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다.
'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다.
그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다.
대체
무엇이 문제인가요?’
1.
개념에
사용된 논리는 무엇인가!
문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다.)
가령,
등차수열
{an}의
일반항이
an=a1+(n-1)d
(a1:첫째항,
d:공차)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다.
하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요.
등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의 n번째
항을‘결정하는
요소’가
무엇인가로 요약될 수 있습니다.
물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이‘첫째항과
공차’입니다.
즉,
3, 5, 7, 9, 11, …
과
같은 수열의 100번째
항을 알고 싶다면
3+2·0,
3+2·1,
3+2·2,
3+2·3,
3+2·4,
…
과
같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다.
∴ a100= 3+2·99
2.
그
논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가!
사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라
다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다.
이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다.
그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요..
2011학년도
수능 (오답률
50%)
2이상의
자연수 n에
대하여 집합 {3(2k-1)
|
k는
자연수,
1≤k≤n}의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 S라
하고,
S의
원소의 개수를 f(n)이라
하자.
예를
들어,
f(4)=5이다.
이때,
f(2)+f(3)+…+f(11)의
값을 구하시오.
[4점]
Sol》우선,
3(2k-1)꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들(2k-1)의
합과 같습니다.
(예)
31×33=31+3)
이때, 예시로 주어진
f(4)의
값이 왜 5가
되는지 분석해 봅시다.
f(n)의
규칙성이 존재한다면 f(4)일
때의 규칙성이 f(2),
f(3), …,
f(11)일
때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다.)
n=4일
때,
3(2k-1)꼴에서
지수의 값만 적어보면
1, 3, 5, 7
인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가 5가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을 n이
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요?
그 길이 잘 보이지
않는다면,
앞서
설명한대로 첫째항이
1이고
공차가 2인
등차수열
{2k-1}을
그 결정요소로 나타내 봅시다.
즉,
1+2·0,
1+2·1,
1+2·2,
1+2·3
이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(2+3)
공차가
항상
2이고
항의 개수가‘(2+3)’인
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다.
같은
방식으로 n=m이면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(m-2 + m-1)
이므로
공차가 항상 2이고
항의 개수가‘(2m-3)’인
등차수열이 만들어지게 됩니다.
∴ f(m)=2m-3
따라서
구하는 값은 1부터
연속된 10개의
홀수의 합을 나타냅니다.
∴ f(2)+f(3)+…+f(11)=102
문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다.
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다.
이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다!
~ 읽어주셔서 감사합니다 ~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
전공의에 내용증명 발송한 병원…"복귀든, 사직이든 결정해달라" 1
"병원도 앞으로 어떻게 할지 결정해야"…일부 전공의, 복귀 의사 대부분 병원은...
-
ㅈㄱㄴ
-
난 올해 재수를 본격적으로 시작하기 전에 불과 8주만에 내 정신과약 대부분을...
-
백분위 95인데 좀 더 기출 n제를 풀고 들어가야 하나요? 기출은 어려운 문제는...
-
달씨 사건 때매 연대 언더우드 ㅈㄴ 까이는데 말하는거 들어보면 사실에 기반한건 손에...
-
그리고 운빨디펜스 수특수완 문학 작품정리 비문학에서 질질끌리지 않기 위한 국단어...
-
짜장vs짬뽕 1
골라골라
-
논술 무조건 정시로 갈 수 있는 대학보다 높게 써야 하나요?(6모 기준) 1
현역인데 평백 3모 96>5모 93>6모 89인데 더 떨어질 걸 감안해서 6모...
-
일요일도 공부하는데 보충시간이라 월ㅡ토 집계 ㆍ이번주 국영 밸런스굳, 독서 미흡...
-
ebs 연계비율 좀 보고있는데 검색어 키워드를 잘못쳐서 그런가 국어 수학 영어 탐구...
-
ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋㅋ 시대북스 들어가서 보는데 개웃기네ㅋㅋㅋㅋㅋ 근데 목차 보니까...
-
이륙해 있네ㅋㅎㅋㅎㅋㅎㅎ 솔직히 어제같은 일들이 매번 매초에 있는 것도 아니고...
-
하하하 긍정으로 버티자
-
ㅣ
-
히히집에간당 0
-
얼버기 6
라기엔 피방에서 밤을 새버린
-
주말이니 쉬실 분들은 푹 쉬시고, 주말에도 불태우시는 분들은 주말이라고 너무 해이해지지 말아요~
-
일반고 내신 안 챙겨서 5점대 정도 인 거 같고.. 인서울 심리학과 가고싶은데 타격...
-
기차지나간당 1
부지런행
-
국물 다뒤졋다ㅋ
-
잔다 1
-
레전드 얼버기 9
이 시간이 레전드라면 사실 전 늘 레전드 얼버기였습니다 오늘 하루도 화이팅이에요 !!
-
휴릅한다 빠잉
-
작년 중 커리어하이 언매 앞이 캄캄할 정도로 안보여서 잠깐 화작런 했네요 ㅋㅋ...
-
사랑한다 0
고려
-
생윤 윤사 둘 다 내신으로 했고 생윤은 임정환 리밋만 완강, 윤사는 지금 바꾸기로...
-
칼럼 다들 어케 쓰는거냐 읽어본적도 써본적도 없어서 힘드네
-
80점대도 좆고수임
-
커뮤를 할 필요가 없어서 안함
-
저는 사실 모쏠입니다. 연애라는 것을 한번 하고 싶네요. 사랑이라는 감정은 어떤...
-
한번개지랄떨고나니 정신이돌아오네 일단 주말에 공부 좀 해야겟음.. 커뮤에 이상한...
-
현생을 살러 간거기에 응원해야 할 일이져..
-
왜 무슨일이야... 나 오르비없으면 안된다고..
-
빅포텐vs4규 2
빅포텐 시즌123이랑 4규 시즌12 중 한 종류의 책만 풀려하는데 어떤걸 풀까요
-
그냥 자고 내일 6
고양이나 물개 붙잡고 물어봐야겠다 졸리다
-
합법 삼릅할 때까지 기다릴께요
-
본인 모의시험에선 긴장 안되는데(반 애들끼리봄, 내 교실 내책상)부이거 일부러...
-
생각해보니까 마음에 드는 사람한테도 플러팅해본적도 없네
-
너네 다 싸웠니 0
어 형이야
-
물2때는 선호?까지는 아니고 그냥 하나로 쭉 푸는게 좋아짐 그냥 평속이 신이라 그런가
-
내신 대비로 방학 안에 시발점까지만 해놓을 생각인데 빡셀까봐 여름방학 때 어느정도...
-
내일 일관된 풀이를 보여주지
-
더워 4
체감온도 31도가말이냐
-
수능때 깜짝등장!
-
굳이 쓰지 말까 걍 꼴깝같은데 흠..
-
먹으면 또 바로 못자는데 하,??
-
어느 속도와 수직인 직선상에서는 가속도운동에 의해 그 선위의 다른 점으로 이동할 때...
-
질투 심한사람 있나요 19
-
대학오니 급 하기싫어짐 하지만 꺾이지 않는마음
잘 읽었습니다 유용하네요
이좋은글에 왜 댓글이없죠?ㅠㅠ 감사합니다 잘읽었어요!ㅎㅎ
그래도 알아보시는 분들이 있어서 다행입니다ㅎ
ㅠㅠ앞으로도 학습관련 게시물 많이 올려주세요~~꼭꼭 챙겨볼게요!ㅎㅎ
스크랩 ~~~~~
출처만 정확히 ~
굿굿굿굿굿!
이런 게시글의 논지를 담고있는 책 추천 좀 해주세요..
오르비 북스(Books)에 있습니다.
좋은글 잘 읽었습니다!!!
정말정말 좋은글입니다.
수능수학은 이 글안에 해법이 다 있다고 해도 될듯하네요