[수학의 기준] 개념을 효과적으로 공부하는 방법
게시글 주소: https://i9.orbi.kr/0004324086
개념을
통해 무엇을 배워야 할까?
안녕하세요, '수학의 기준'의 백경린(Dost)입니다.
지난 칼럼에 이어 이번에는 개념을 공부하는 방법에 대해 좀 더 자세히 다뤄보고자
합니다.
수학공부에
관한 상담을 하다보면 이런 하소연을 하는 학생들을 종종 만나게 됩니다.
'수학을
잘하려면 무엇보다 개념을 정확히 이해하고 증명까지 할 줄 알아야 한다는 얘기를 듣고,
교과서의
모든 개념들을 증명까지 완벽하게 독파하였습니다.
그런데,
시험
성적에는 별다른 변화가 없습니다.
대체
무엇이 문제인가요?’
1.
개념에
사용된 논리는 무엇인가!
문제는
어떤 개념에 대한 증명 과정을 이해하고 직접 설명까지 할 수 있더라도 거기에 쓰이고 있는 논리가 무엇인지를 파악하지 못했다면 실전에서는 거의
쓸모가 없다는 사실입니다.
(학기
초이니 가능한 한 쉬운 예를 들어 보겠습니다.)
가령,
등차수열
{an}의
일반항이
an=a1+(n-1)d
(a1:첫째항,
d:공차)
임은
누구나 쉽게 증명할 수 있는 내용입니다.
하지만,
위와
같은 공식을 증명하고 이해했다고 해서 등차수열에 관한 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 것은 아닙니다.
실제로
변별력을 가지는 문제들을 해결하는데 사용되는 것은 단순한 증명 과정이 아니라 그 안에 담겨 있는 논리이기 때문이지요.
등차수열의
일반항에 담겨 있는 논리란 임의의 n번째
항을‘결정하는
요소’가
무엇인가로 요약될 수 있습니다.
물론
그 결정요소는 일반항의 표현에 나타나 있듯이‘첫째항과
공차’입니다.
즉,
3, 5, 7, 9, 11, …
과
같은 수열의 100번째
항을 알고 싶다면
3+2·0,
3+2·1,
3+2·2,
3+2·3,
3+2·4,
…
과
같이 각 항을 결정하는 요소로 나타내는 것이 훨씬 효과적이라는 얘기입니다.
∴ a100= 3+2·99
2.
그
논리는 얼마나 효율적이며 보편적인가!
사실
어떤 대상을 그것의 결정요소로 표현하는 것은 수열뿐만 아니라
다른
수학적인 개념에서도 공통적으로 확인할 수 있는 논리입니다.
이것은
많은 개념들을 이해하는데 그다지 많은 논리가 필요하지 않다는 뜻이기도 합니다.
그렇다면
별로 대단할 것도 없어 보이는(?)
위와
같은 논리가 변별력 있는 문제를 해결하는데 얼마나 효과가 있을까요..
2011학년도
수능 (오답률
50%)
2이상의
자연수 n에
대하여 집합 {3(2k-1)
|
k는
자연수,
1≤k≤n}의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 S라
하고,
S의
원소의 개수를 f(n)이라
하자.
예를
들어,
f(4)=5이다.
이때,
f(2)+f(3)+…+f(11)의
값을 구하시오.
[4점]
Sol》우선,
3(2k-1)꼴의
서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 값은 서로 다른 지수의 값들(2k-1)의
합과 같습니다.
(예)
31×33=31+3)
이때, 예시로 주어진
f(4)의
값이 왜 5가
되는지 분석해 봅시다.
f(n)의
규칙성이 존재한다면 f(4)일
때의 규칙성이 f(2),
f(3), …,
f(11)일
때도 동일하게 적용되고 있을 테니까요.
(주어진
예시를 이용하여 규칙성을 추론하는 것은 실수를 미연에 방지할 수 있는 좋은 수단이기도 합니다.)
n=4일
때,
3(2k-1)꼴에서
지수의 값만 적어보면
1, 3, 5, 7
인데,
여기서
서로 다른 두 원소를 더하여 나올 수 있는 결과가 5가지임을
효율적이고 정확하게 확인하는 방법은 무엇일까요?
또,
그 방법을 n이
다른 값을 가질 때도 일반적으로 확장시킬 수 있을까요?
그 길이 잘 보이지
않는다면,
앞서
설명한대로 첫째항이
1이고
공차가 2인
등차수열
{2k-1}을
그 결정요소로 나타내 봅시다.
즉,
1+2·0,
1+2·1,
1+2·2,
1+2·3
이므로,
여기서
서로 다른 두 원소를 택하여 더하게 되면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(2+3)
공차가
항상
2이고
항의 개수가‘(2+3)’인
등차수열이 만들어진다는 것을 정확히 확인할 수 있습니다.
같은
방식으로 n=m이면
2+2·(0+1),
2+2·(0+2),
…,
2+2·(m-2 + m-1)
이므로
공차가 항상 2이고
항의 개수가‘(2m-3)’인
등차수열이 만들어지게 됩니다.
∴ f(m)=2m-3
따라서
구하는 값은 1부터
연속된 10개의
홀수의 합을 나타냅니다.
∴ f(2)+f(3)+…+f(11)=102
문제의
난이도가 높아질수록 개념 속에 담겨 있는 논리들을 이용하는 것이 얼마나 효과적인지 더욱 확실히 체감할 수 있습니다.
아무리
많은 지식과 유형을 익혀도 자신의 실력이 늘고 있다는 느낌을 받지 못한다면, 다시 개념으로 돌아가 증명 과정이나 결론 속에 담겨 있는 실제적인
논리가 무엇인지를 잘 파악해 보시기 바랍니다.
그리고
다양한 문제를 통해 자신이 이해한 논리가 얼마나 효율적이며 보편적으로 사용될 수 있는지를 꼭 확인해 보아야 합니다.
이렇게
자신의 논리를 다듬어가다 보면 어느새 전혀 다른 수준에서 문제를 이해하고 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다!
~ 읽어주셔서 감사합니다 ~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
신파극이 애초에 일본에서 온 단어임
-
제발
-
질문받는다 1
ㄱㄱ
-
전형태 7개년 기출 분석하고나서 중요한 옛기출도 추가로 하려고하는데 피램 옛기출...
-
안녕하세요, 저는 2023수능을 응시했고, 수시로 고려대학교 공대를 왔습니다....
-
저녁 안먹어서 메뉴추천좀
-
3일 순공 3시간 . ..
-
시립논 0
4번 나만 9나옴? 나 어케푼거냐 ㅠㅠㅠㅠ
-
문이유는 신이야 1
정석민 숭배..
-
과외생들 공부좀 하라고 열심히 구박해놓고 게임 유투브 실컷하고 술먹고 놀러다니고...
-
세 종교의 만남 1
ㅋㅋㅋ
-
흠.... 5
남은 문제 하나하나가 주옥같네....
-
국어 서바?국바?
-
독서-4점(8번 14번) 문학-2점(29번) 언매-0점 후기:꽤 어려움 근데 이감보단 쉬움
-
특히 공대는 화학공학과 쥐도 새도 모르게 전공지식으로 폭탄 제조해서 님들 조질 수 잇음
-
오늘 다행히도 통번 급작스럽게 생긴거 할 뻔했는데 가까스로(?) 취소됨 ㅋㅋㅋ 아놔...
-
수능이 가까워지면서 종종 마음이 복잡해지고 생각이 많아지곤 합니다. 생각은 할수록...
-
얹다가 ㄴㅈ의 ㅈ이 ㄷ으로 바껴서 ㄷ 영향으로 된소리가 일어난다는데 이거랑 비슷한 사례가 있나요
-
평가원 기출인지 실모 기출인지 가물가물하네
-
꿈과희망 모두드립니다 모든 소망 모든 계획 내 손과 마음 받아주소서
-
션티가 생각남 …
-
GOAT 3
-
외대를 굉장히 좋게 보고 있는 학생인데요 유투브나 오르비에서 엄청 까이던데 이유가 뭔가요? 5
유투브는 진짜 난리도 아니고 오르비는 그나마 낫긴한데 좀 검색해보니 안좋은 글들 많더라구요
-
실모 다풀고 채점 오답까지 전 3시간 반에서 4시간 정도
-
해모 이로운모 킬캠 이감 수학 oz모 트레일러 …
-
공부할때 엄청 예민한데 수능때 다리 떨어도 원래 그냥 참았는데 이번에 3번째 수능...
-
훈계자손가 0
왤케 찔리는 내용이 많지..
-
ㅇㅇ? 오르비만 아니라 대부분 수험생 커뮤가 다 남초인거같던데
-
겨우 뚫었다 하하하하
-
03년생이라 현재 만 21세인데요(4수) , 연기 1회 사용으로 24년 5월에 연기...
-
오르비왜이래 3
-
뭔가 조금이나마 여유를 주는거 같은 느낌
-
언어 확통 생윤 사문 92/88/50/50 대충이라도 부탁드려요
-
불꽃축..제?
-
무덤에 한권만 들고갈수있다면 어떤거 가져가실건가요? 그리고 지구 이훈식샘 모고 좋나요??
-
지연·황재균, 결혼 2년 만에 이혼…"좋지 않은 모습 보여 죄송" 2
그룹 티아라 멤버 겸 배우 지연(31)과 kt 위즈 소속 프로야구선수...
-
뭐야 고해성사글 3
댓글 많은 글에 올라갔네 저기 올라간 적은 처음인데... 다들 고해성사할게 많나보네...
-
근데과외는 7
어느학교부터 할 수 있는거같나요 물론뭐제한 이런거없지만 그냥 개인적인생각ㅇ궁금해서...
-
평가원(9월 집모 96), 교육청, 다른 실모(서바 빡모 꿀모 지인선등등)들은...
-
안녕하십니까 김여우입니다. 이번에는 똥글이 아닌,, 무려 1년만의 칼럼으로...
-
1. 모든 것은 존재하거나 존재하지 않는다. 2. 존재하거나 존재하지 않는 것은...
-
나만 보기 부터 읽고 문제 푸는 동시에 선지에 적힌 시 해석이랑 맞춰가면서 푸는건가
-
공부하기 개 싫당 14
-
묵은지 한 포기 씹고 싶다 괜히 먹었다 느끼해 죽겠네 ㅠㅠ
-
그렇다니 1
그런가보네 그런가봐
-
다운로드해도 다운받으라하네 해결법좀
-
정시러로써 내년 3월 교육청부터는 더이상 핑계를 댈 수가 없다.. 최소 국영수...
-
이상하게 돈 아까움
-
알코올성 치매 예방 가능 이거 자리 잡고 시작하면 중독성 때문인지 끊지를 못하겠음
잘 읽었습니다 유용하네요
이좋은글에 왜 댓글이없죠?ㅠㅠ 감사합니다 잘읽었어요!ㅎㅎ
그래도 알아보시는 분들이 있어서 다행입니다ㅎ
ㅠㅠ앞으로도 학습관련 게시물 많이 올려주세요~~꼭꼭 챙겨볼게요!ㅎㅎ
스크랩 ~~~~~
출처만 정확히 ~
굿굿굿굿굿!
이런 게시글의 논지를 담고있는 책 추천 좀 해주세요..
오르비 북스(Books)에 있습니다.
좋은글 잘 읽었습니다!!!
정말정말 좋은글입니다.
수능수학은 이 글안에 해법이 다 있다고 해도 될듯하네요